Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a-2=x\ge0\\b=y\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow2y+4=\left(x+2\right)y\Rightarrow xy=4\)
\(P=\dfrac{\sqrt{x^2+2x}}{x+1}+\dfrac{\sqrt{y^2+2y}}{y+1}+\dfrac{1}{x+y+2}\)
\(P=\dfrac{\sqrt{2x\left(x+2\right)}}{\sqrt{2}\left(x+1\right)}+\dfrac{\sqrt{2y\left(y+2\right)}}{\sqrt{2}\left(y+1\right)}+\dfrac{1}{x+1+y+1}\)
\(P\le\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\left(\dfrac{3x+2}{x+1}+\dfrac{3y+2}{y+1}\right)+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}\right)\)
\(P\le\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\left(3-\dfrac{1}{x+1}+3-\dfrac{1}{y+1}\right)+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}\right)\)
\(P\le\dfrac{3\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}-1}{4}\left(\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}\right)\)
Ta có:
\(\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}=\dfrac{x+y+2}{xy+x+y+1}=\dfrac{x+y+2}{x+y+5}=1-\dfrac{3}{x+y+5}\ge1-\dfrac{3}{2\sqrt{xy}+5}=\dfrac{2}{3}\)
\(\Rightarrow P\le\dfrac{3\sqrt{3}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}-1}{4}.\dfrac{2}{3}=...\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=2\) hay \(\left(a;b\right)=\left(4;2\right)\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Áp dụng bđt Bunhiacopxki :
\(A^2=\left(1.\sqrt{2a+b+1}+1.\sqrt{2b+c+1}+1.\sqrt{2c+a+1}\right)^2\)
\(\le\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(2a+b+1+2b+c+1+2c+a+1\right)\)
\(\Rightarrow A^2\le3.3\left(a+b+c+1\right)\)
\(\Rightarrow A^2\le36\Rightarrow A\le6\) (Vì A > 0)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\begin{cases}\sqrt{2a+b+1}=\sqrt{2b+c+1}=\sqrt{2c+a+1}\\a+b+c=3\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Vậy A đạt giá trị lớn nhất bằng 6 tại a = b = c = 1
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Áp dụng BĐT Mincopxki:
\(P\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+2\left(a+b+c\right)^2}=\sqrt{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
Lại có do \(a;b;c\ge0\) nên:
\(a^2+2b^2\le a^2+2\sqrt{2}ab+2b^2=\left(a+\sqrt{2}b\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{a^2+2b^2}\le a+\sqrt{2}b\)
Tương tự và cộng lại:
\(\Rightarrow P\le\left(\sqrt{2}+1\right)\left(a+b+c\right)=\sqrt{2}+1\)
Dấu "=" xảy ra tại \(\left(a;b;c\right)=\left(1;0;0\right)\) và các hoán vị
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a/ Nếu (a + b) < 0 thì bất đẳng thức đúng
Với (a + b) \(\ge0\)thì ta có
\(2a^2+ab+2b^2\ge\frac{5}{4}\left(a^2+2ab+b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow3a^2-6ab+3b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow3\left(a-b\right)^2\ge0\)(đúng)
b/ Áp dụng BĐT BCS :
\(1=\left(1.\sqrt{a}+1.\sqrt{b}+1.\sqrt{c}\right)^2\le3\left(a+b+c\right)\Rightarrow a+b+c\ge\frac{1}{3}\)
Áp dụng câu a/ :
\(\sqrt{2a^2+ab+2b^2}\ge\frac{\sqrt{5}}{2}\left(a+b\right)\)
\(\sqrt{2b^2+bc+2c^2}\ge\frac{\sqrt{5}}{2}\left(b+c\right)\)
\(\sqrt{2c^2+ac+2a^2}\ge\frac{\sqrt{5}}{2}\left(a+c\right)\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{\sqrt{5}}{2}.2\left(a+b+c\right)\ge\frac{\sqrt{5}}{3}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{9}\)
Vậy min P = \(\frac{\sqrt{5}}{3}\) khi a=b=c=1/9
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki ta có:
\(S^2=\left(1.\sqrt{1+2a}+1.\sqrt{1+2b}\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(1+2a+1+2b\right)\)\(=4+4\left(a+b\right)\)
Áp dụng tiếp BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki ta có \(\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)=2\)\(\Rightarrow a+b\le\sqrt{2}\)\(\Rightarrow S^2\le4+4\sqrt{2}\Rightarrow S\le2\sqrt{1+\sqrt{2}}\).Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi \(a=b=\frac{\sqrt{2}}{2}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Đặt A là biểu thức cần CM
ví dụ Từ ĐK a + b + c = 3 => a² + b² + c² ≥ 3 ( Tự chứng minh )
Áp dụng BĐT quen thuộc x² + y² ≥ 2xy
a^4 + b² ≥ 2a²b (1)
b^4 + c² ≥ 2b²c (2)
c^4 + a² ≥ 2c²a (3)
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
$P^2\leq (1+2a+1+2b)(1+1)=4(a+b+1)$
Tiếp tục áp dụng Bunhiacopxky:
$(a+b)^2\leq (a^2+b^2)(1+1)=2\Rightarrow a+b\leq \sqrt{2}$
$\Rightarrow P^2\leq 4(\sqrt{2}+1)$
$\Rightarrow P\leq 2\sqrt{\sqrt{2}+1}$
Vậy $P_{\max}=2\sqrt{\sqrt{2}+1}$. Giá trị này đạt tại $a=b=\frac{1}{\sqrt{2}}$