Question

[Hồ Văn Đạt]

Cho 4 điểm A,E,F,B theo thứ tự trên một đường thẳng. Trên cùng 1 nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các hình vuông ABCD và FGHE

a) Gọi O là giao điểm của AG và BH. CM rằng các tam giác OHE và OBC đồng dạng.

b) CM rằng các đường thẳng CE và FD cùng đi qua O

Answer 1

[Nguyễn Linh Chi]

Kẻ OI vuông góc với AB tại I

a) Ta có: 

OI // GF => \(\frac{AI}{AF}=\frac{OI}{GF}\)

OI//HE => \(\frac{BO}{BH}=\frac{BI}{BE}=\frac{OI}{HE}\)

mà HE = GF 

=> \(\frac{BO}{BH}=\frac{AI}{AF}=\frac{BI}{BE}=\frac{AI+BI}{AF+BE}=\frac{AB}{AB+EF}\)

=> \(\frac{BH}{BO}=\frac{AB+EF}{AB}=1+\frac{EF}{AB}=1+\frac{HE}{BC}\)vì ABCD; FGHE là hình vuông

=> \(\frac{HE}{BC}=\frac{BH}{BO}-1=\frac{BH-BO}{BO}=\frac{OH}{OB}\)

Xét \(\Delta\)OHE và \(\Delta\)OBC có:

^OHE = ^OBC ( HE//CB; so le trong )

\(\frac{HE}{BC}=\frac{OH}{OB}\)

=> \(\Delta\)OHE ~ \(\Delta\)OBC 

b)  \(\Delta\)OHE ~ \(\Delta\)OBC 

=> ^HEO = ^BCO = ^BCE 

mà E và O nằm cùng phía so với BC

=> C; O ; E thẳng hàng

=> CE đi qua O

Chứng minh tương tự như câu a với  \(\Delta\)OAD ~ \(\Delta\)OGF

=> D; O; F thẳng hàng

=> DF đi qua O