Question

[Meches ali]

cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của

1/a^4 + 1/b^4 + 1/c^4

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

$(\frac{1}{a^4}+\frac{1}{b^4}+\frac{1}{c^4})(1+1+1)\geq (\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})^2(1)$

$(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})(1+1+1)\geq (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^2(2)$

$(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})(a+b+c)\geq (1+1+1)^2$

$\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{9}{a+b+c}=9$(3)$

Từ $(1); (2); (3)$ suy ra:
$\frac{1}{a^4}+\frac{1}{b^4}+\frac{1}{c^4}\geq \frac{9^4}{27}=243$
Vậy GTNN của biểu thức là 243 khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

Answer 2

[Nguyễn Việt Lâm]

Đặt \(P=\dfrac{1}{a^4}+\dfrac{1}{b^4}+\dfrac{1}{c^4}=\left(\dfrac{1}{a^4}+\dfrac{1}{b^4}+\dfrac{1}{c^4}\right)\left(a+b+c\right)^4\) (do \(a+b+c=1\))

\(P=\left(\dfrac{1}{a^4}+\dfrac{1}{b^4}+\dfrac{1}{c^4}\right)\left(a+b+c\right)^4\ge3\sqrt[3]{\dfrac{1}{a^4.b^4.c^4}}.\left(3\sqrt[3]{abc}\right)^4=3^5=243\)

\(P_{min}=243\) khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)