Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Em kiểm tra lại mẫu số của biểu thức c, chắc chắn đề sai
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Đề bài sai
Đề đúng: \(\dfrac{1}{\sqrt{a}+2\sqrt{b}+3}+\dfrac{1}{\sqrt{b}+2\sqrt{c}+3}+\dfrac{1}{\sqrt{c}+2\sqrt{a}+3}\le\dfrac{1}{2}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Từ a+b+c=0 => b+c=-a
Theo đề ra ta có a3 + b3 + c3 = 0
=> a3 + (b+c)(b2 - bc + c2 )=0
<=> a3- a[(b + c )2 -3bc]= 0
<=> a3- [( -a )2 - 3bc] = 0
<=> a3 - a3 +3bc = 0
<=> 3bc= 0
<=> a =0 hoặc b=0 hoặc c=0 ( đpcm)
cho mik điểm nha bạn ơiii
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
$(a^2+b^2+c^2)(1+1+1)\geq (a+b+c)^2$
$\Rightarrow a^2+b^2+c^2\geq \frac{(a+b+c)^2}{3}$
$\Rightarrow (a^2+b^2+c^2)^3\geq \frac{(a+b+c)^6}{27}$
Áp dụng BĐT Cô-si: $a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}=3$
$\Rightarrow (a^2+b^2+c^2)^3\geq \frac{(a+b+c)^6}{27}\geq \frac{(a+b+c).3^5}{27}=9(a+b+c)$
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
bài này cô si đc ko nhỉ
Đặt \(A=\left(1+\frac{1}{a^3}\right)\left(1+\frac{1}{b^3}\right)\left(1+\frac{1}{c^3}\right)\)
Ta có:
\(A=1+\left(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\right)+\left(\frac{1}{a^3b^3}+\frac{1}{b^3c^3}+\frac{1}{c^3a^3}\right)+\frac{1}{a^3b^3c^3}\)
Áp dụng BĐT Côsi, ta có:
\(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\ge\frac{3}{abc}\)
\(\frac{1}{a^3b^3}+\frac{1}{b^3c^3}+\frac{1}{c^3a^3}\ge\frac{3}{a^2b^2c^2}\)
Thay vào A, ta được \(A\ge1+\frac{3}{abc}+\frac{3}{a^2b^2c^2}+\frac{1}{a^3b^3c^3}=\left(1+\frac{1}{abc}\right)^3\)
Lại áp dụng BĐT Côsi ta có:
\(abc\le\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^3=\left(\frac{6}{3}\right)^3=8\)hay\(\frac{1}{abc}\ge\frac{1}{8}\)
Suy ra:\(A\ge\left(1+\frac{1}{8}\right)^3=\frac{729}{512}\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:\(\hept{\begin{cases}a+b+c=6\\a=b=c\end{cases}\Leftrightarrow}a=b=c=2\)