![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hi vọng là tìm GTLN:
Không mất tính tổng quát, giả sử b, c cùng phía với 1 \(\Rightarrow\left(b-1\right)\left(c-1\right)\ge0\Leftrightarrow bc\ge b+c-1\).
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có:
\(4=a^2+b^2+c^2+abc\ge a^2+2bc+abc\Leftrightarrow2bc+abc\le4-a^2\Leftrightarrow bc\left(a+2\right)\le\left(2-a\right)\left(a+2\right)\Leftrightarrow bc+a\le2\)
\(\Rightarrow a+b+c\le3\).
Áp dụng bất đẳng thức Schwarz ta có:
\(P\le\dfrac{ab}{9}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}\right)+\dfrac{bc}{9}\left(\dfrac{1}{b}+\dfrac{2}{c}\right)+\dfrac{ca}{9}\left(\dfrac{1}{c}+\dfrac{2}{a}\right)=\dfrac{1}{9}.3\left(a+b+c\right)=\dfrac{1}{3}\left(a+b+c\right)\le1\).
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Theo đề ra, ta có:
\(a^2+b^2+c^2\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(=a^3+b^3+c^3+a^2b+b^2c+c^2a+ab^2+bc^2+ca^2\)
Theo BĐT Cô-si:
\(\left\{{}\begin{matrix}a^3+ab^2\ge2a^2b\\b^3+bc^2\ge2b^2c\\c^3+ca^2\ge2c^2a\end{matrix}\right.\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge3\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\)
Do vậy \(M\ge14\left(a^2+b^2+c^2\right)+\dfrac{3\left(ab+bc+ac\right)}{a^2+b^2+c^2}\)
Ta đặt \(a^2+b^2+c^2=k\)
Luôn có \(3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2=1\)
Vì thế nên \(k\ge\dfrac{1}{3}\)
Khi đấy:
\(M\ge14k+\dfrac{3\left(1-k\right)}{2k}=\dfrac{k}{2}+\dfrac{27k}{2}+\dfrac{3}{2k}-\dfrac{3}{2}\ge\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}+2\sqrt{\dfrac{27k}{2}.\dfrac{3}{2k}}-\dfrac{3}{2}=\dfrac{23}{3}\)
\(\Rightarrow Min_M=\dfrac{23}{3}\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{3}\).
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
ai giải giùm mk vs. ai giải đc từ nay về sau mk gọi ng đó là sư phụ
Ta có: \(S+8\cdot1008\ge1008\left(a^2+b^2+c^2\right)+2016ac-ab-bc\)
\(=1008\left(a+c\right)^2-b\left(a+c\right)+1008b^2\)
\(=1008\left[\left(a+c\right)^2-2\left(a+c\right)\cdot\frac{b}{2016}+\frac{b^2}{2016^2}\right]+\left(1008-\frac{1}{4032}\right)b^2\)
\(=1008\left(a+c-\frac{b}{2016}\right)^2+\left(1008-\frac{1}{4032}\right)b^2\ge0\Rightarrow A\ge-8064\)
\("="\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a+c=\frac{b}{2016}\\b=0\\a^2+b^2+c^2=8\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=-c=\pm2\\b=0\end{cases}}}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Với mọi số thực ta luôn có:
`(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2>=0`
`<=>a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2>=0`
`<=>2(a^2+b^2+c^2)>=2(ab+bc+ca)`
`<=>3(a^2+b^2+c^2)>=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)`
`<=>3(a^2+b^2+c^2)>=(a+b+c)^2=4`
`<=>a^2+b^2+c^2>=4/3`
Dấu "=" xảy ra khi `a=b=c=2/3`
~Quang Anh Vũ~
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(A=2017+a^2+b^2+c^2\ge2017+\dfrac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2=2020\)
\(A_{min}=2020\) khi \(a=b=c=1\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dưới dạng Engel ta có :
\(A=a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{1+1+1}=\frac{2^2}{3}=\frac{4}{3}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{2}{3}\)
Vậy .............
Ta dễ có BĐT sau \(a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)
Khi đó \(a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\frac{4}{3}\)
Đẳng thức xảy ra tại a=b=c=2/3