Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: 3x + y = 1 => y = 1 - 3x
=> M = 3x2 + y2 = 3x2 + (1-3x)2
= 3x2 + 1 - 6x + 9x2
= 12x2 - 6x + 1
= 12.(x2 -\(\frac{1}{2}x\) + \(\frac{1}{12}\))
= 12.((x2 - 2. \(\frac{1}{4}x\)+ \(\frac{1}{16}\)) - \(\frac{1}{16}\)+ \(\frac{1}{12}\))
= 12.((x-\(\frac{1}{4}\))2 + \(\frac{1}{48}\))
= 12. (x-\(\frac{1}{4}\))2 + \(\frac{1}{4}\)
=> M \(\ge\)\(\frac{1}{4}\)
Dấu ''='' xảy ra khi: (x - \(\frac{1}{4}\))2 = 0 => x = \(\frac{1}{4}\)
Vậy Mmin= \(\frac{1}{4}\)khi x= \(\frac{1}{4}\)
Từ đk trên ta có: \(2y^2+2zy+2z^2=2-3x^2\)
<=> \(3x^2+2y^2+2zy+2z^2=2\left(1\right)\)
<=>\(\left(x+y+z\right)^2+\left(x-y\right)^2+\left(x-z\right)^2=2\)
Do (x-y)2≥0; (x-z)2≥0 nên từ(*) suy ra (x+y+z)2≤2
Hay \(-\sqrt{2}\le x+y+z\le\sqrt{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi x-y =0 và x-z=0 hay x=y=z
Thay vào (1) ta được 9x2=2 ; x=\(\dfrac{\sqrt{2}}{3};\dfrac{-\sqrt{2}}{3}\)
Với x=y=z =x=\(\dfrac{\sqrt{2}}{3};\dfrac{-\sqrt{2}}{3}\)thì max=\(\sqrt{2}\), min =\(-\sqrt{2}\)
a)
\(x^3+y^3+3\left(x^2+y^2\right)+4\left(x+y\right)+4=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^3+3x^2+3x+1\right)+\left(y^3+3y^2+3y+1\right)+\left(x+y+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^3+\left(y+1\right)^3+\left(x+y+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+2\right)\left[\left(x+1\right)^2-\left(x+1\right)\left(y+1\right)+\left(y+1\right)^2\right]+\left(x+y+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+2\right)\left[\left(x+1\right)^2-\left(x+1\right)\left(y+1\right)+\left(y+1\right)^2+1\right]=0\)
Lại có :\(\left(x+1\right)^2-\left(x+1\right)\left(y+1\right)+\left(y+1\right)^2+1=\left[\left(x+1\right)-\frac{1}{2}\left(y+1\right)\right]^2+\frac{3}{4}\left(y+1\right)^2+1>0\)
Nên \(x+y+2=0\Rightarrow x+y=-2\)
Ta có :
\(M=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{x+y}{xy}=\frac{-2}{xy}\)
Vì \(4xy\le\left(x+y\right)^2\Rightarrow4xy\le\left(-2\right)^2\Rightarrow4xy\le4\Rightarrow xy\le1\)
\(\Rightarrow\frac{1}{xy}\ge\frac{1}{1}\Rightarrow\frac{-2}{xy}\le-2\)
hay \(M\le-2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=-1\)
Vậy \(Max_M=-2\)khi \(x=y=-1\)
c) ( Mình nghĩ bài này cho x, y, z ko âm thì mới xảy ra dấu "=" để tìm Min chứ cho x ,y ,z dương thì ko biết nữa ^_^ , mình làm bài này với điều kiện x ,y ,z ko âm nhé )
Ta có :
\(\hept{\begin{cases}2x+y+3z=6\\3x+4y-3z=4\end{cases}\Rightarrow2x+y+3z+3x+4y-3z=6+4}\)
\(\Rightarrow5x+5y=10\Rightarrow x+y=2\)
\(\Rightarrow y=2-x\)
Vì \(y=2-x\)nên \(2x+y+3z=6\Leftrightarrow2x+2-x+3z=6\)
\(\Leftrightarrow x+3z=4\Leftrightarrow3z=4-x\)
\(\Leftrightarrow z=\frac{4-x}{3}\)
Thay \(y=2-x\)và \(z=\frac{4-x}{3}\)vào \(P\)ta có :
\(P=2x+3y-4z=2x+3\left(2-x\right)-4.\frac{4-x}{3}\)
\(\Rightarrow P=2x+6-3x-\frac{16}{3}+\frac{4x}{3}\)
\(\Rightarrow P=\frac{x}{3}+\frac{2}{3}\ge\frac{2}{3}\)( Vì \(x\ge0\))
Dấu "=" xảy ra khi \(x=0\Rightarrow\hept{\begin{cases}y=2\\z=\frac{4}{3}\end{cases}}\)( Thỏa mãn điều kiện y , z ko âm )
Vậy \(Min_P=\frac{2}{3}\)khi \(\hept{\begin{cases}x=0\\y=2\\z=\frac{4}{3}\end{cases}}\)
Ta có
\(A=\dfrac{4}{x+1}+\dfrac{9}{y+2}+\dfrac{25}{z+3}\)
\(A=\dfrac{2^2}{x+1}+\dfrac{3^2}{y+2}+\dfrac{5^2}{z+3}\)
\(A\ge\dfrac{\left(2+3+5\right)^2}{x+1+y+2+z+3}\) (BĐT Schwarz)
\(A\ge\dfrac{10^2}{10}=10\) (vì \(x+y+z=4\))
ĐTXR \(\Leftrightarrow\dfrac{2}{x+1}=\dfrac{3}{y+2}=\dfrac{5}{z+3}\)
\(\Rightarrow\dfrac{2}{x+1}=\dfrac{3}{y+2}=\dfrac{5}{z+3}=\dfrac{2+3+5}{z+1+y+2+z+3}=1\). Dẫn đến \(\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=1\\z=2\end{matrix}\right.\). Vậy, GTNN của A là 10 khi \(\left(x,y,z\right)=\left(1,1,2\right)\)
Từ giả thiết ta có: \(\left(x-1\right)\left(x-2\right)\le0\Rightarrow x^2\le3x-2\). Tương tự \(y^2\le3y-2\)
Từ đây ta có: \(A\ge\frac{x+2y}{3\left(x+y+1\right)}+\frac{y+2x}{3\left(x+y+1\right)}+\frac{1}{4\left(x+y-1\right)}\)
\(=\frac{x+y}{x+y+1}+\frac{1}{4\left(x+y-1\right)}\). Đặt \(t=x+y\Rightarrow2\le t\le4\)
Ta sẽ tìm min của \(A=\frac{t}{t+1}+\frac{1}{4\left(t-1\right)}\) với \(2\le t\le4\). Đến đây vẫn chưa mừng được vì ko thể dùng miền giá trị!Ta sẽ chứng minh A \(\le\frac{7}{8}\). Thật vậy: \(A-\frac{7}{8}=\frac{t}{t+1}-\frac{3}{4}+\frac{1}{4\left(t-1\right)}-\frac{1}{8}\)
\(=\frac{t-3}{4\left(t+1\right)}-\frac{t-3}{8\left(t-1\right)}=\frac{4\left(t-3\right)^2}{32\left(t+1\right)\left(t-1\right)}\ge0\). Do đó...
Đẳng thức xảy ra khi (x;y) = (2;1) và các hoán vị của nó!
P/s: Nhớ check xem em có quy đồng sai chỗ nào không:v
3x+y=1=>y=1-3x,thay vào A ta được A=3x2+(1-3x)2=3x2+1-6x+9x2=12x2-6x+1=12(x2-1/2x+1/12)=12(x-1/4)2+1/4 >= 1/4 với mọi x
Dấu "=" xảy ra khi x=y=1/4