Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có \(\sqrt{1+a^2}+\sqrt{2a}\le\sqrt{2\left(1+a^2+2a\right)}=\sqrt{2}\left(a+1\right)\).
Tương tự \(\sqrt{1+b^2}+\sqrt{2b}\le\sqrt{2}\left(b+1\right)\); \(\sqrt{1+c^2}+\sqrt{2c}\le\sqrt{2}\left(c+1\right)\).
Lại có \(\left(2-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\le\left(2-\sqrt{2}\right)\sqrt{3\left(a+b+c\right)}\le3\left(2-\sqrt{2}\right)\).
Do đó \(B\le\sqrt{2}\left(a+b+c+3\right)+3\left(2-\sqrt{2}\right)\le6\sqrt{2}+6-3\sqrt{2}=3\sqrt{2}+6\).
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = 1.
Áp dụng BĐT Bu nhi a có:
(a+b+c)2 \(\le\) (a2 + b2 +c2)(12 +12 +12) = 22.3 = 66
=> a + b + c \(\le\) \(\sqrt{66}\)
Vậy max(a+b+c) = \(\sqrt{66}\) khi a = b = c
mà a2 + b2 +c2 = 22 =>a2 = b2 = c2 = \(\frac{22}{3}\)
=> a = b = c = \(\sqrt{\frac{22}{3}}\)
4/ Xét hiệu: \(P-2\left(ab+7bc+ca\right)\)
\(=5a^2+11b^2+5c^2-2\left(ab+7bc+ca\right)\)
\(=\frac{\left(5a-b-c\right)^2+6\left(3b-2c\right)^2}{5}\ge0\)
Vì vậy: \(P\ge2\left(ab+7bc+ca\right)=2.188=376\)
Đẳng thức xảy ra khi ...(anh giải nốt ạ)
@Cool Kid:
Bài 5: Bản chất của bài này là tìm k (nhỏ nhất hay lớn nhất gì đó, mình nhớ không rõ nhưng đại khái là chọn k) sao cho: \(5a^2+11b^2+5c^2\ge k\left(ab+7bc+ca\right)\)
Rồi đó, chuyển vế, viết lại dưới dạng tam thức bậc 2 biến a, b, c gì cũng được rồi tự làm đi:)
Lời giải:
Không mất tổng quát, giả sử \(c=\max(a,b,c)\Rightarrow 6=a+b+c\leq 3c\Rightarrow c\geq 2\)
Ta có:
\(P=a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)=36-2(ab+bc+ac)\)
Vì \(a,b,c\geq 1\Rightarrow (a-1)(b-1)\geq 0\)
\(\Rightarrow ab\geq a+b-1\)
\(\Rightarrow ab+bc+ac\geq a+b-1+bc+ac\)
\(\Rightarrow ab+bc+ac\geq 6-c-1+c(6-c)\)
\(\Rightarrow ab+bc+ac\geq 11-(c^2-5c+6)\)
\(\Rightarrow ab+bc+ac\geq 11-(c-2)(c-3)\)
Vì \(3\geq c\geq 2\Rightarrow (c-2)(c-3)\leq 0\Rightarrow 11-(c-2)(c-3)\geq 11\)
Do đó: \(ab+bc+ac\geq 11\Rightarrow P=36-2(ab+bc+ac)\leq 14\)
Vậy \(P_{\max}=14\Leftrightarrow (a,b,c)=(3,2,1)\) và các hoán vị.
thks nhiều