K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

18 tháng 8 2019

Tu gia thuyet suy ra:\(xyz\ge0\Rightarrow x+y+z\le0\)

\(\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}+\sqrt{z+1}\le\frac{x+y+z+6}{2}\le\frac{6}{2}=3\)

Dau '=' xay ra khi \(x=y=z=0\)

NV
18 tháng 9 2021

Đề này còn có lý, lần sau chú ý đọc kĩ đề trước khi đăng lên, tránh làm mất thời gian vô ích:

\(\left|x-2y\right|\le\dfrac{1}{\sqrt{x}}\Rightarrow1\ge\sqrt{x}\left|x-2y\right|\Rightarrow1\ge x\left(x-2y\right)^2\)

\(\Rightarrow1\ge x^3-4x^2y+4xy^2\)

Tương tự: \(\dfrac{1}{\sqrt{y}}\ge\left|y-2x\right|\Rightarrow1\ge y^3-4xy^2+4xy^2\)

Cộng vế:

\(\Rightarrow2\ge x^3+y^3=\dfrac{1}{2}\left(x^3+x^3+1\right)+\left(y^3+1+1\right)-\dfrac{5}{2}\ge\dfrac{1}{2}.3x^2+3y-\dfrac{3}{2}=\dfrac{3}{2}\left(x^2+2y\right)-\dfrac{5}{2}\)

\(\Rightarrow\dfrac{3}{2}\left(x^2+2y\right)\le\dfrac{9}{2}\Rightarrow x^2+2y\le3\)

24 tháng 2 2019

Đc dùng hàm ko ¿

24 tháng 2 2019

Áp dụng bđt \(\sqrt[3]{a_1^3+b_1^3}+\sqrt[3]{b_1^3+b_2^3}+\sqrt[3]{a_3^3+b_3^3}\ge\sqrt[3]{\left(a_1+a_2+a_3\right)^3+\left(b_1+b_2+b_3\right)^3}\)

và bđt \(\left(a+b+c\right)^3\ge27abc\)

Ta thu đc \(M\ge\sqrt[3]{\left(x+y+z\right)^3+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^3}\ge\sqrt[3]{27abc+\frac{27}{abc}}\)

Đặt \(0< t=abc\le\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^3\le\frac{1}{8}\)ta thu được

\(P\ge\sqrt[3]{f\left(t\right)}=\sqrt[3]{27t+\frac{27}{t}}\)

Lại có \(f\left(t\right)=27\left(64t+\frac{1}{t}-63t\right)\ge27\left(2\sqrt{64}-\frac{63}{8}\right)\)

 \(\Leftrightarrow f\left(t\right)\ge27\left(16-\frac{63}{8}\right)=\frac{27.65}{8}\)

\(\Rightarrow P\ge\sqrt[3]{\frac{27.65}{8}}=\frac{3}{2}\sqrt[3]{65}\)(Đpcm !)

                            Nguồn : Team toán tỉnh 9B Tiên Lữ !!!!

20 tháng 12 2021

Đặt \(P=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{y}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{z}{\sqrt{1+z^2}}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\)

Do x,y,z là các số thực dương nên ta biến đổi \(P=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{y^2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{z^2}}}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\)

Đặt \(a=\frac{1}{x^2};b=\frac{1}{y^2};c=\frac{1}{z^2}\left(a,b,c>0\right)\)thì \(xy+yz+zx=\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ca}}=1\)và \(P=\frac{1}{\sqrt{1+a}}+\frac{1}{\sqrt{1+b}}+\frac{1}{\sqrt{1+c}}+a+b+c\)

Biến đổi biểu thức P=\(\left(\frac{1}{2\sqrt{a+1}}+\frac{1}{2\sqrt{a+1}}+\frac{a+1}{16}\right)+\left(\frac{1}{2\sqrt{b+1}}+\frac{1}{2\sqrt{b+1}}+\frac{b+1}{16}\right)\)\(+\left(\frac{1}{2\sqrt{c+1}}+\frac{1}{2\sqrt{c+1}}+\frac{c+1}{16}\right)+\frac{15a}{16}+\frac{15b}{16}+\frac{15c}{b}-\frac{3}{16}\)

Áp dụng Bất Đẳng Thức Cauchy ta có

\(P\ge3\sqrt[3]{\frac{a+1}{64\left(a+1\right)}}+3\sqrt[3]{\frac{b+1}{64\left(b+1\right)}}+3\sqrt[3]{\frac{c+1}{64\left(c+1\right)}}+\frac{15a}{16}+\frac{15b}{16}+\frac{15c}{16}-\frac{3}{16}\)

\(=\frac{33}{16}+\frac{15}{16}\left(a+b+c\right)\ge\frac{33}{16}+\frac{15}{16}\cdot3\sqrt[3]{abc}\)

Mặt khác ta có \(1=\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ca}}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\Leftrightarrow abc\ge27\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{33}{16}+\frac{15}{16}\cdot3\sqrt[3]{27}=\frac{33}{16}+\frac{15}{16}\cdot9=\frac{21}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c hay \(x=y=z=\frac{\sqrt{3}}{3}\)

20 tháng 12 2021

Ai giải đc cho 5 k và được kết bạn.(thực ra mình lớp 4,đọc tạp chí pi bố mik cũng không hiểu gì luôn.)

7 tháng 5 2019

Áp dụng BĐT Cô-si ta có:

\(1+x^3+y^3\ge3\sqrt[3]{1.x^3.y^3}=3xy\Rightarrow\sqrt{1+x^3+y^3}\ge\sqrt{3xy}\Rightarrow\frac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}\ge\frac{\sqrt{3xy}}{xy}\)

Tương tự:\(\frac{\sqrt{1+y^3+z^3}}{yz}\ge\frac{\sqrt{3yz}}{yz};\frac{\sqrt{1+z^3+x^3}}{zx}\ge\frac{\sqrt{3zx}}{zx}\)

Công vế với vế của 3 BĐT trên ta đươc:

\(P\ge\frac{\sqrt{3xy}}{xy}+\frac{\sqrt{3yz}}{yz}+\frac{\sqrt{3zx}}{zx}=\sqrt{3}\left(\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{zx}}\right)\) \(=\sqrt{3}.\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\ge3\sqrt{3}\)

Dấu '='xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x=y=z\\xyz=1\end{cases}\Leftrightarrow x=y=z=1}\)

Vậy \(P_{min}=3\sqrt{3}\)khi \(x=y=z=1\)

:))

NV
8 tháng 3 2021

Ta sẽ chứng minh \(P_{min}=1\)

TH1: \(xyz=0\)

\(\Rightarrow x^2y^2z^2=0\Rightarrow x^4+y^4+z^4=1\)

\(P=x^2+y^2+z^2\ge\sqrt{x^4+y^4+z^4}=1\)

TH2: \(xyz\ne0\) , từ điều kiện, tồn tại 1 tam giác nhọn ABC sao cho \(\left\{{}\begin{matrix}x^2=cosA\\y^2=cosB\\z^2=cosC\end{matrix}\right.\)

\(P=cosA+cosB+cosC-\sqrt{2cosA.cosB.cosC}\)

Ta sẽ chứng minh \(cosA+cosB+cosC-\sqrt{2cosA.cosB.cosC}\ge1\)

\(\Leftrightarrow4sin\dfrac{A}{2}sin\dfrac{B}{2}sin\dfrac{C}{2}\ge\sqrt{2cosA.cosB.cosC}\)

\(\Leftrightarrow8sin^2\dfrac{A}{2}sin^2\dfrac{B}{2}sin^2\dfrac{C}{2}\ge cosA.cosB.cosC\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{8sin^2\dfrac{A}{2}sin^2\dfrac{B}{2}sin^2\dfrac{C}{2}}{8sin\dfrac{A}{2}sin\dfrac{B}{2}sin\dfrac{C}{2}cos\dfrac{A}{2}cos\dfrac{B}{2}cos\dfrac{C}{2}}\ge cotA.cotB.cotC\)

\(\Leftrightarrow tan\dfrac{A}{2}tan\dfrac{B}{2}tan\dfrac{C}{2}\ge cotA.cotB.cotC\)

\(\Leftrightarrow tanA.tanB.tanC\ge cot\dfrac{A}{2}cot\dfrac{B}{2}cot\dfrac{C}{2}\)

\(\Leftrightarrow tanA+tanB+tanC\ge cot\dfrac{A}{2}+cot\dfrac{B}{2}+cot\dfrac{C}{2}\)

Ta có:

\(tanA+tanB=\dfrac{sin\left(A+B\right)}{cosA.cosB}=\dfrac{2sinC}{cos\left(A-B\right)-cosC}\ge\dfrac{2sinC}{1-cosC}=\dfrac{2sin\dfrac{C}{2}cos\dfrac{C}{2}}{2sin^2\dfrac{C}{2}}=cot\dfrac{C}{2}\)

Tương tự: \(tanA+tanC\ge cot\dfrac{B}{2}\) ; \(tanB+tanC\ge cot\dfrac{A}{2}\)

Cộng vế với vế ta có đpcm

Vậy \(P_{min}=1\) khi \(\left(x^2;y^2;z^2\right)=\left(1;0;0\right)\) và các hoán vị hoặc \(\left(x^2;y^2;z^2\right)=\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}\right)\)

29 tháng 1 2022

\(A=\dfrac{\sqrt{x^3+y^3+1}}{xy}+\dfrac{\sqrt{y^3+z^3+1}}{yz}+\dfrac{\sqrt{z^3+x^3+1}}{zx}\)

\(\dfrac{\sqrt{x^3+y^3+1}}{xy}=\dfrac{\sqrt{x^3+y^3+xyz}}{xy}\ge\dfrac{\sqrt{xy\left(x+y\right)+xyz}}{xy}=\dfrac{\sqrt{xy\left(x+y+z\right)}}{xy}\ge\dfrac{\sqrt{xy.3^3\sqrt{xyz}}}{xy}=\dfrac{\sqrt{3xy}}{xy}=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{xy}}\)

\(\dfrac{\sqrt{y^3+z^3+1}}{yz}\ge\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{yz}}\)

\(\dfrac{\sqrt{z^3+x^3+1}}{zx}\ge\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{zx}}\)

\(\Rightarrow A\ge\sqrt{3}\left(\dfrac{1}{\sqrt{xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{xz}}\right)\ge\sqrt{3}.3\sqrt[3]{\dfrac{1}{\sqrt{xy.yz.xz}}}=3\sqrt{3}.\sqrt[3]{\dfrac{1}{xyz}}=3\sqrt{3}\)

NV
8 tháng 1 2022

Đề bài sai, biểu thức này ko có min

8 tháng 1 2022

vậy nó có max không thầy, nếu có thầy có thể giúp em tìm max ạ

7 tháng 3 2021

TH1: Nếu có 1 số bằng 0, giả sử là z, khi đó ta có \(x^4+y^4=1\)

và \(P=x^2+y^2\ge\sqrt{x^4+y^4}=1\)

Dấu '=' xảy ra khi 1 số =0, một số = \(\pm1\)

TH2: Nếu các số đều khác 0

Từ giả thiết => tồn tại tam giác ABC nhọn sao cho

\(x^2=\cos A,y^2=\cos B,z^2=\cos C\)

\(P=\cos A+\cos B+\cos C-\sqrt{2\cos A\cos B\cos C}\)

\(=1+4\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}-\sqrt{2\cos A\cos B\cos C}\)

Ta chứng minh \(4\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}\ge\sqrt{2\cos A\cos B\cos C}\)  (1)

Ta có (1) \(\Leftrightarrow8\sin^2\frac{A}{2}\sin^2\frac{B}{2}\sin^2\frac{C}{2}\ge\cos A\cos B\cos C\)

\(\Leftrightarrow\frac{8\sin^2\frac{A}{2}\sin^2\frac{B}{2}\sin^2\frac{C}{2}}{\sin A\sin B\sin C}\ge\frac{\cos A\cos B\cos C}{\sin A\sin B\sin C}\)

\(\Leftrightarrow\cot A\cot B\cot C\le\tan\frac{A}{2}\tan\frac{B}{2}\tan\frac{C}{2}\)

\(\Leftrightarrow\tan A\tan B\tan C\ge\cot\frac{A}{2}\cot\frac{B}{2}\cot\frac{C}{2}\)

\(\Leftrightarrow\tan A+\tan B+\tan C\ge\cot\frac{A}{2}+\cot\frac{B}{2}+\cot\frac{C}{2}\)  (2)

bđt (2) đúng vì \(\tan A+\tan B\ge2\cot\frac{C}{2}\)  và 2 bđt tương tự

Dấu '=' xảy ra khi tam giác đều \(\Leftrightarrow x^2=y^2=z^2=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow P\ge1\)

Dấu '=' xảy ra khi 2 số =0, một số \(=\pm1\)  hoặc \(x^2=y^2=z^2=\frac{1}{2}\)

Vậy GTNN của P là 1

8 tháng 12 2021

Áp dụng BĐT \(\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\):

\(y^2=\left(\sqrt{sinx}+\sqrt{1-sinx}\right)^2\le sinx+1-sinx=1\)

\(\Rightarrow-1\le y\le1\)

\(\Rightarrow M^4-m^4=0\)