HN
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
HN
0
NT
1
19 tháng 10 2018
Ta có: \(\sqrt[3]{x^2\left(2-2x\right)}\le\frac{x+x+2-2x}{3}=\frac{2}{3}.\)
\(\Rightarrow x^2\left(2-2x\right)\le\frac{8}{27}\Leftrightarrow-x^3+x^2\le\frac{4}{27}\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(x=2-2x\Leftrightarrow x=\frac{2}{3}\)
Bạn xem lại đề nha
NA
0
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
27 tháng 6 2021
BĐT bên trái rất đơn giản, chỉ cần áp dụng:
\(x^3+x^3+y^3\ge3x^2y\) ; tương tự và cộng lại và được
Ta chứng minh BĐT bên phải:
\(\Leftrightarrow x^4+y^4+z^4+2\ge2\left(x^3+y^3+z^3\right)=\left(x+y+z\right)\left(x^3+y^3+z^3\right)\)
\(\Leftrightarrow2\ge x^3\left(y+z\right)+y^3\left(z+x\right)+z^3\left(x+y\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{8}\left(x+y+z\right)^4\ge x^3\left(y+z\right)+y^3\left(z+x\right)+z^3\left(x+y\right)\)
Thật vậy, ta có:
\(\dfrac{1}{8}\left(x+y+z\right)^4=\dfrac{1}{8}\left[x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)\right]^2\)
\(\ge\dfrac{1}{8}.4\left(x^2+y^2+z^2\right).2\left(xy+yz+zx\right)=\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(xy+yz+zx\right)\)
\(=x^3\left(y+z\right)+y^3\left(z+x\right)+z^3\left(x+y\right)+xyz\left(x+y+z\right)\)
\(\ge x^3\left(y+z\right)+y^3\left(z+x\right)+z^3\left(x+y\right)\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(0;1;1\right)\) và hoán vị
LT
0
NT
0
28 tháng 11 2021
Ta có \(x+y\le1\Leftrightarrow1-x\ge y>0\Leftrightarrow0< x< 1\)
Giả sử \(x^2-\dfrac{3}{4x}-\dfrac{x}{y}\le-\dfrac{9}{4}\)
\(\Leftrightarrow4x^2+9\le\dfrac{3}{x}+\dfrac{4x}{y}\\ \Leftrightarrow\dfrac{4x}{1-x}+\dfrac{3}{x}\ge4x^2+9\\ \Leftrightarrow\dfrac{4x^2+3\left(1-x\right)-x\left(4x^2+9\right)\left(1-x\right)}{x\left(1-x\right)}\ge0\\ \Leftrightarrow\dfrac{4x^4-4x^3+13x^2-12x+3}{x\left(1-x\right)}\ge0\\ \Leftrightarrow\dfrac{\left(x^2+3\right)\left(2x-1\right)^2}{x\left(1-x\right)}\ge0\)
Vì \(x>0;1-x>0\) nên BĐT trên luôn đúng
Vậy ta được đpcm
Dấu \("="\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{2}\)
Lời giải:
Áp dụng hệ quả BĐT AM-GM dạng \(abc\leq \left(\frac{a+b+c}{3}\right)^3\) thì với \(x\geq 0; 1-x\geq 0\) ta có:
\(-x^3+x^2=x^2(1-x)=4.\frac{x}{2}.\frac{x}{2}(1-x)\leq 4\left(\frac{\frac{x}{2}+\frac{x}{2}+1-x}{3}\right)^3=\frac{4}{27}\)
Mà \(\frac{4}{27}< \frac{1}{4}\Rightarrow -x^3+x^2< \frac{1}{4}\)