Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
B2: \(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=4\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}a+b+c=2\\a+b+c=-2\end{cases}}\)
TH1: \(a+b+c=2\Rightarrow c=2-\left(a+b\right)\)
\(a^2+b^2+c^2=2\)\(\Leftrightarrow a^2+b^2+\left(2-a-b\right)^2=2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+ab-2\left(a+b\right)+1=0\)
\(\Leftrightarrow a^2+\left(b-2\right)a+b^2-2b+1=0\)
Xem đây là một phương trình bậc hai ẩn a, tham số b.
Để tồn tại a thỏa phương trình trên thì \(\Delta\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(b-2\right)^2-4\left(b^2-2b+1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow b\left(3b-4\right)\le0\)\(\Leftrightarrow0\le b\le\frac{4}{3}\)
Do vai trò của a, b, c là như nhau nên \(0\le a,b,c\le\frac{4}{3}\)
(hoặc đổi biến thành b và tham số a --> CM được a, rồi thay \(b=2-c-a\) sẽ chứng minh được c)
TH2: \(a+b+c=-2\) --> tương tự trường hợp 1 nhưng kết quả sẽ là
\(-\frac{4}{3}\le a,b,c\le0\)
Kết hợp 2 trường hợp lại, ta có đpcm.
bài toán cực trị có ẩn trong đoạn là pahir cẩn thận này @
\(0\le a,b,c\le1\)\(\Rightarrow a\left(1-a\right)\left(1-b\right)\ge0\Leftrightarrow a-ab-a^2+a^2b\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2b\ge ab+a^2-a\)
Tương tự \(b^2c\ge bc+b^2-b;c^2a\ge ca+c^2-c\)
\(\Rightarrow a^2b+b^2c+c^2a+1\ge1+bc+ca+ab-a-b-c+a^2+b^2+c^2\)
\(\ge\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)+abc+a^2+b^2+c^2\ge a^2+b^2+c^2\)
dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow\left(a,b,c\right)\in\hept{ }\left(0,1,1\right),\left(0,0,1\right),\left(1,0,1\right)\left(1,1,0\right)\left(0,1,0\right),\left(1,0,0\right)\left\{\right\}\)
Do : \(\hept{\begin{cases}a\le1\Rightarrow1-a\ge0\\b\le1\Rightarrow1-b\le0\\c\le1\Rightarrow1-c\le0\end{cases}\Rightarrow\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\ge0}\)