Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
\(\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BI}=(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MC})(\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MI})\)
\(=\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MI}\)
\(=\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{BM}\)
\(=\overrightarrow{AM}.\frac{-\overrightarrow{AM}}{2}+\frac{\overrightarrow{BC}}{2}.\overrightarrow{BC}=\frac{BC^2-AM^2}{2}\)
\(=\frac{BC^2-(\frac{\sqrt{3}}{2}BC)^2}{2}=\frac{BC^2}{8}=\frac{9a^2}{8}\)
Cho tam giác ABC có trung tuyến BM và trọng tâm G . Phân tích vecto BG theo hai vecto BA và vecto BC
\(\overrightarrow{BG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BM}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BA}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC}\)
Tọa độ G là;
\(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{4+2+0}{3}=2\\y=\dfrac{0-4-2}{3}=-2\end{matrix}\right.\)
Tọa độ M là:
x=(2+0)/2=1 và y=(-4-2)/2=-3
Tọa độ N là:
x=(4+0)/2=2 và y=(0-2)/2=-1
Tọa độ P là;
x=(4+2)/2=3 và y=(0-4)/2=-2
Tọa độ trọng tâm của tam giác MNP là:
\(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{1+2+3}{3}=2\\y=\dfrac{-3-1-2}{3}=-2\end{matrix}\right.\)
=>Tam giác ABC và tam giác MNP có chung trọng tâm
Tọa độ A là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}x-y-2=0\\x+2y-5=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow A\left(3;1\right)\)
\(\left\{{}\begin{matrix}x_A+x_B+x_C=3x_G\\y_A+y_B+y_C=3y_G\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_B+x_C=6\\y_B+y_C=5\end{matrix}\right.\) (1)
B thuộc AB nên: \(x_B-y_B=2\Rightarrow x_B=y_B+2\)
C thuộc AC nên: \(x_C+2y_C-5=0\Rightarrow x_C=-2y_C+5\)
Thế vào (1) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y_B+2-2y_C+5=6\\y_B+y_C=5\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y_B=3\Rightarrow x_B=5\\y_C=2\Rightarrow x_C=1\end{matrix}\right.\)
Phương trình BC: \(\dfrac{x-5}{1-5}=\dfrac{y-3}{2-3}\Leftrightarrow x-4y+7=0\)
Vì M(1;-1) là trung điểm BC và \(G\left(\frac{2}{3};0\right)\) là trọng tâm của tam giác ABC nên \(\overrightarrow{MA}=3\overrightarrow{MG}\) từ đó tìm được A(0;2)
Vì tam giác ABC cân tại A nên \(BC\perp MA\) tức là đường thẳng BC đi qua M(1;-1), nhận \(\overrightarrow{MA}=\left(-1;3\right)\) làm vec tơ pháp tuyến.
Do đó đường thẳng BC có phương trình \(-1\left(x-1\right)+3\left(y+1\right)=0\)
hay \(-x+3y+4=0\)
Do tam giác ABC vuông tại A nên MB=MC=MA=\(\sqrt{10}\)
Suy ra B, C nằm trên đường tròn \(\left(x-1\right)^2+\left(y+1\right)^2=10\)
Từ đó tọa độ B, C là nghiệm của hệ phương trình
\(\begin{cases}-x+3y+4=0\\\left(x-1\right)^2+\left(y+1\right)^2=10\end{cases}\)
Giải hệ phương trình thu được (x;y) = (4;0) và (x;y) = (-2;2)
Vậy A(0;2), B(4; 0), C(-2;-2)
BG=a\(\sqrt{3}\)
BD+BC=6a