NH
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
TM
25 tháng 10 2016
Không làm mất tính tổng quát của bài toán, giả sử \(a\ge b\ge c\)(1)
Có \(\sqrt{\frac{a+b}{ab}}+\sqrt{\frac{a+c}{ac}}+\sqrt{\frac{b+c}{bc}}=\sqrt{\frac{1}{b}+\frac{1}{a}}+\sqrt{\frac{1}{c}+\frac{1}{a}}+\sqrt{\frac{1}{c}+\frac{1}{b}}\)
Từ (1) => \(\hept{\begin{cases}\frac{2}{a}\le\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\\\frac{2}{b}\le\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\\\frac{2}{c}\le\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{\frac{2}{a}}\le\sqrt{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\\\sqrt{\frac{2}{b}}\le\sqrt{\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}\\\sqrt{\frac{2}{c}}\le\sqrt{\frac{1}{a}+\frac{1}{c}}\end{cases}}\)
=>\(\sqrt{\frac{2}{a}}+\sqrt{\frac{2}{b}}+\sqrt{\frac{2}{c}}\le\sqrt{\frac{1}{b}+\frac{1}{a}}+\sqrt{\frac{1}{c}+\frac{1}{a}}+\sqrt{\frac{1}{c}+\frac{1}{b}}\)
=>\(\sqrt{\frac{2}{a}}+\sqrt{\frac{2}{b}}+\sqrt{\frac{2}{c}}\le\sqrt{\frac{a+b}{ab}}+\sqrt{\frac{a+c}{ac}}+\sqrt{\frac{b+c}{bc}}\)
Ta có đpcm
24 tháng 12 2019
a) \(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2+2ab+b^2}{4}-ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng \(\forall a,b\) )
=>đpcm
25 tháng 12 2019
Cô si
\(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge2\sqrt{\frac{bc}{a}\cdot\frac{ca}{b}}=2c\)
\(\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\ge2\sqrt{\frac{ca}{b}\cdot\frac{ab}{c}}=2a\)
\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2\sqrt{\frac{ab}{c}\cdot\frac{bc}{a}}=2b\)
Cộng lại ta có:
\(2\left(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\Rightarrowđpcm\)
18 tháng 6 2017
\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\right)\)
\(=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{2\left(c+a+b\right)}{abc}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\)
\(\Rightarrow dpcm\)
DF
1
9 tháng 8 2019
<=> \(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
<=> \(a+b-2\sqrt{ab}\ge0\)
<=. \(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\)(luôn đúng )
dấu = khi a=b
HH
1
MT
26 tháng 7 2016
\(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\Leftrightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\)
<=>\(a+b-2\sqrt{ab}\ge0\)
<=>\(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
=>dpcm
T
3 tháng 12 2019
Nhìn giả thiết thấy nản quả:(
BĐT \(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\frac{\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b\right)}{a^2+b^2}\le3\left(ab+bc+ca\right)\) (nhân ab +bc +ca vào hai vế)
\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\frac{\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b\right)}{a^2+b^2}\le3\left(a+b+c\right)\) (chú ý giả thiết ab + bc +ca = a + b + c)
\(VT=\Sigma_{cyc}\frac{ab\left(a+b\right)}{a^2+b^2}+\Sigma_{cyc}\frac{c\left(a+b\right)^2}{a^2+b^2}\)
\(\le\Sigma_{cyc}\frac{ab\left(a+b\right)}{2ab}+\Sigma_{cyc}\frac{2c\left(a^2+b^2\right)}{a^2+b^2}=3\left(a+b+c\right)\)
Vậy ta có đpcm.Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{1}{\sqrt{AB}}=\frac{2}{2\sqrt{AB}}\ge\frac{2}{A+B}\)(đpcm)
p/s: tham khảo
chúc bn hk tốt