Question

[Minh Hoang Hai]

Biet F_(x) = ax²+bx²+cx+d chia hết cho 5 với mọi x nguyên (a;b;c;d nguyên)

C/m a;b;c;d đều chia hết cho 5

Answer 1

[Nguyễn Thị Thu]

Ta có: \(F\left(x\right)=ax^3+bx^2+cx+d⋮5\forall x\in Z\)

+ Với x=0 ta có \(F\left(0\right)=d⋮5\left(1\right)\)

+ Với x=1 ta có \(F\left(1\right)=a+b+c+d⋮5\left(2\right)\)

+ Với x=1 ta có \(F\left(-1\right)=-a+b-c+d⋮5\left(3\right)\)

+ Với x=2 ta có \(F\left(2\right)=8a+4b+2c+d⋮5\left(4\right)\)

+ Với x=-2 ta có \(F\left(-2\right)=-8a+4b-2c+d⋮5\left(5\right)\)

Từ (1),(2),(3),(4) và (5) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b+c⋮5\\-a+b-c⋮5\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)+\left(-a+b-c\right)⋮5\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c-a+b-c\right)⋮5\)

\(\Rightarrow2b⋮5\Rightarrow b⋮5\) (vì 2 và 5 là 2 số nguyên tố cùng nhau) \(\left(6\right)\)

Từ (1),(2),(4) và (6) \(\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}8a+2c⋮5\\a+c⋮5\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}8a+2c⋮5\\8\left(a+c\right)⋮5\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}8a+2c⋮5\\8a+8c⋮5\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(8a+8c\right)-\left(8a+2c\right)⋮5\)

\(\Rightarrow6c⋮5\Rightarrow c⋮5\) (vì ƯCLN(6,5)=1)

\(\Rightarrow a⋮5\) (vì \(a+c⋮5\)

Vậy \(a,b,c,d⋮5\)