Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
B3 mk tìm đc cách giải r nhưng bạn nào muốn thì trả lời cg đc
Các bạn giải giúp mình B2 và B5 nhé. Mấy bài kia mình giải được rồi.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
2a)với a,b,c là các số thực ta có
\(a^2-ab+b^2=\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2+\frac{3}{4}\left(a-b\right)^2\ge\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{a^2-ab+b^2}\ge\sqrt{\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2}=\frac{1}{2}\left|a+b\right|\)
tương tự \(\sqrt{b^2-bc+c^2}\ge\frac{1}{2}\left|b+c\right|\)
tương tự \(\sqrt{c^2-ca+a^2}\ge\frac{1}{2}\left|a+c\right|\)
cộng từng vế mỗi BĐT ta được \(\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{b^2-bc+c^2}+\sqrt{c^2-ca+a^2}\ge\frac{2\left(a+b+c\right)}{2}=a+b+c\)
dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(3-P=1-\frac{x}{x+1}+1-\frac{y}{y+1}+1-\frac{z}{z+1}\)
\(=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\ge\frac{9}{x+y+z+3}=\frac{9}{1+3}=\frac{9}{4}\)
\(\Rightarrow P\le\frac{3}{4}\)
Dấu "=" xảy ra tại \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Bài 4: Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có: \(P=\text{}\Sigma_{cyc}a\sqrt{b^3+1}=\Sigma_{cyc}a\sqrt{\left(b+1\right)\left(b^2-b+1\right)}\le\Sigma_{cyc}a.\frac{\left(b+1\right)+\left(b^2-b+1\right)}{2}=\Sigma_{cyc}\frac{ab^2+2a}{2}=\frac{1}{2}\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)+3\)Giả sử b là số nằm giữa a và c thì \(\left(b-a\right)\left(b-c\right)\le0\Rightarrow b^2+ac\le ab+bc\)\(\Leftrightarrow ab^2+bc^2+ca^2\le a^2b+abc+bc^2\le a^2b+2abc+bc^2=b\left(a+c\right)^2=b\left(3-b\right)^2\)
Ta sẽ chứng minh: \(b\left(3-b\right)^2\le4\)(*)
Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow\left(b-4\right)\left(b-1\right)^2\le0\)(đúng với mọi \(b\in[0;3]\))
Từ đó suy ra \(\frac{1}{2}\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)+3\le\frac{1}{2}.4+3=5\)
Đẳng thức xảy ra khi a = 2; b = 1; c = 0 và các hoán vị
Bài 1: Đặt \(a=xc,b=yc\left(x,y>0\right)\)thì điều kiện giả thiết trở thành \(\left(x+1\right)\left(y+1\right)=4\)
Khi đó \(P=\frac{x}{y+3}+\frac{y}{x+3}+\frac{xy}{x+y}=\frac{x^2+y^2+3\left(x+y\right)}{xy+3\left(x+y\right)+9}+\frac{xy}{x+y}\)\(=\frac{\left(x+y\right)^2+3\left(x+y\right)-2xy}{xy+3\left(x+y\right)+9}+\frac{xy}{x+y}\)
Có: \(\left(x+1\right)\left(y+1\right)=4\Rightarrow xy=3-\left(x+y\right)\)
Đặt \(t=x+y\left(0< t< 3\right)\Rightarrow xy=3-t\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{t^2}{4}\Rightarrow t\ge2\)(do t > 0)
Lúc đó \(P=\frac{t^2+3t-2\left(3-t\right)}{3-t+3t+9}+\frac{3-t}{t}=\frac{t}{2}+\frac{3}{t}-\frac{3}{2}\ge2\sqrt{\frac{t}{2}.\frac{3}{t}}-\frac{3}{2}=\sqrt{6}-\frac{3}{2}\)với \(2\le t< 3\)
Vậy \(MinP=\sqrt{6}-\frac{3}{2}\)đạt được khi \(t=\sqrt{6}\)hay (x; y) là nghiệm của hệ \(\hept{\begin{cases}x+y=\sqrt{6}\\xy=3-\sqrt{6}\end{cases}}\)
Ta lại có \(P=\frac{t^2-3t+6}{2t}=\frac{\left(t-2\right)\left(t-3\right)}{2t}+1\le1\)(do \(2\le t< 3\))
Vậy \(MaxP=1\)đạt được khi t = 2 hay x = y = 1
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có: \(\sqrt{\frac{ab}{c+ab}}=\sqrt{\frac{ab}{c.1+ab}}=\sqrt{\frac{ab}{c\left(a+b+c\right)+ab}}=\sqrt{\frac{ab}{c\left(b+c\right)+a\left(b+c\right)}}=\sqrt{\frac{ab}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\)
\(=\sqrt{\frac{a}{a+c}.\frac{b}{b+c}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}\right)\)( bđt Cosi)
Tương tự như trên: \(\sqrt{\frac{bc}{a+bc}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{a+c}\right);\sqrt{\frac{ac}{b+ac}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{c}{b+c}\right)\)
=> \(P\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}+\frac{a}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{a+c}\right)=\frac{3}{2}\)
"=" Xảy ra khi và chỉ khi:
\(\frac{a}{a+c}=\frac{b}{b+c}\Leftrightarrow a\left(b+c\right)=b\left(a+c\right)\Leftrightarrow a=b\)
\(\frac{a}{a+b}=\frac{c}{b+c}\Leftrightarrow a=c\)
\(\frac{c}{a+c}=\frac{b}{a+b}\Leftrightarrow b=c\)
\(a+b+c=1\)
Từ các điều trên ta có đc: \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Vậy GTLN của P=3/2 khi và chỉ khi a=b=c=1/3
1/ Đầu tiên ta chứng minh: \(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge a^2+b^2+c^2\) (1)
\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\left(\frac{a^3}{b}-a^2\right)\ge0\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\left(\frac{a^2\left(a-b\right)}{b}-a\left(a-b\right)\right)+\Sigma_{cyc}a\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\frac{a\left(a-b\right)^2}{b}+\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\frac{a\left(a-b\right)^2}{b}+\Sigma_{cyc}\frac{1}{2}\left(a-b\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\frac{\left(a-b\right)^2\left(2a+b\right)}{2b}\ge0\)
BĐT cuối đúng nên (1) đúng. (*)
Bây giờ ta đi chứng minh: \(a^2+b^2+c^2\ge5\)
Đặt \(\left(a+b+c;ab+bc+ca\right)\rightarrow\left(3u;3v^2\right)\) thì \(3u=9-3v^2\)
và \(a^2+b^2+c^2=\left(3u\right)^2-6v^2=\left(9-3v^2\right)^2-6v^2\)
\(=\left(3v^2-9\right)^2-6v^2=9v^4-60v^2+81\)
Đặt \(v^2=t\ge0\) .Ta cần tìm min của: \(9t^2-60t+81\)
Ta có: \(9t^2-60t+81=\left(3t-10\right)^2-19\ge-19\)
Dấu "=" xảy ra khi t = 10/3 tức là v= \(\sqrt{\frac{10}{3}}\)....
Em thấy có gì đó sai sai thì phải ạ:((
Câu 1:
\(\frac{a^3}{b}+ab\ge2a^2\) ; \(\frac{b^3}{c}+bc\ge2b^2\); \(\frac{c^3}{a}+ac\ge2c^2\)
\(\Rightarrow\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}+ab+ac+bc\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(ab+ac+bc\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(a^2+b^2+c^2\right)=a^2+b^2+c^2\)
//
\(a+b+c+ab+ac+bc\le a+b+c+\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)
\(\Rightarrow\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}+\left(a+b+c\right)\ge9\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c-\frac{3\sqrt{13}-3}{2}\right)\left(a+b+c+\frac{3\sqrt{13}+3}{2}\right)\ge0\)
\(\Rightarrow a+b+c\ge\frac{3\sqrt{13}-3}{2}\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\ge\frac{1}{3}\left(\frac{3\sqrt{13}-3}{2}\right)^2=\frac{21-3\sqrt{13}}{2}>5\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2>5\)
Dấu "=" ko xảy ra