VD
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
3 tháng 5 2016
Ta có:
\(A=\frac{1^2}{1.2}.\frac{2^2}{2.3}.\frac{3^2}{3.4}.\frac{4^2}{4.5}=\frac{1.1}{1.2}.\frac{2.2}{2.3}.\frac{3.3}{3.4}.\frac{4.4}{4.5}=\frac{1.1.2.2.3.3.4.4}{1.2.2.3.3.4.4.5}=\frac{1}{5}\)
HN
1
4 tháng 10 2019
Đặt :
\(A=1.2+2.3+......+2018.2019\)
\(\Leftrightarrow3A=1.2.3+2.3.3+......+2018.2019.3\)
\(\Leftrightarrow3A=1.2.\left(3-0\right)+2.3\left(4-1\right)+....+2018.2019.\left(2020-2017\right)\)
\(\Leftrightarrow3A=1.2.3-1.2.0+2.3.4-1.2.3+....+2018.2019.2020-2017.2018.2019\)
\(\Leftrightarrow3A=2018.2019.2020\)
\(\Leftrightarrow A=\frac{2018.2019.2020}{3}\)
Vậy....
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
20 tháng 1
\(\dfrac{C_n^k}{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}=\dfrac{n!}{\left(k+1\right)\left(k+2\right).k!\left(n-k\right)!}=\dfrac{1}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}.\dfrac{\left(n+2\right)!}{\left(n+2-\left(k+2\right)\right)!\left(k+2\right)!}\)
\(=\dfrac{1}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}.C_{n+2}^{k+2}\)
Đặt tổng trên là A
\(\Rightarrow A=\dfrac{-1.C_{2024}^3}{2023.2024}+\dfrac{2.C_{2024}^4}{2023.2024}+\dfrac{-3.C_{2024}^5}{2023.2024}+...+\dfrac{2022.C_{2024}^{2024}}{2023.2024}\)
\(=\dfrac{1}{2023.2024}\left(-1.C_{2024}^3+2.C_{2024}^4+...+2022.C_{2024}^{2024}\right)=\dfrac{1}{2023.2024}.B\)
Xét \(C=-2.\left(-C_{2024}^3+C_{2024}^4-C_{2024}^5+...+C_{2024}^{2024}\right)\)
\(\Rightarrow B-C=-3C_{2024}^3+4C_{2024}^4-5C_{2024}^5+...+2024.C_{2024}^{2024}\)
Ta có:
\(k.C_n^k=\dfrac{n!.k}{\left(n-k\right)!.k!}=n.\dfrac{\left(n-1\right)!}{\left(\left(n-1\right)-\left(k-1\right)\right)!.\left(k-1\right)!}=n.C_{n-1}^{k-1}\)
\(\Rightarrow B-C=-2024.C_{2023}^2+2024C_{2023}^3+...+2024.C_{2023}^{2023}\)
\(=-2024\left(C_{2023}^2-C_{2023}^3+...-C_{2023}^{2023}\right)\)
Xét khai triển:
\(\left(1-x\right)^k=C_k^0-xC_k^1+x^2C_k^2+...+\left(-1\right)^kx^k.C_k^k\)
Thay \(k=2024\); \(x=1\)
\(\Rightarrow0=C_{2024}^0-C_{2024}^1+C_{2024}^2-C_{2024}^3+...+C_{2024}^{2024}\)
\(\Rightarrow-C_{2024}^3+...+C_{2024}^{2024}=C_{2024}^1-C_{2024}^2-1\)
\(\Rightarrow C=-2\left(C_{2024}^1-C_{2024}^2-1\right)=-2\left(2023-C_{2024}^2\right)\)
Thay \(k=2023;x=1\)
\(\Rightarrow0=C_{2023}^0-C_{2023}^1+C_{2023}^2+...-C_{2023}^{2023}\)
\(\Rightarrow C_{2023}^2-C_{2023}^3+...-C_{2023}^{2023}=C_{2023}^1-1=2022\)
\(\Rightarrow B-C=-2024.2022\)
\(\Rightarrow B=C-2022.2024=-2\left(2023-C_{2024}^2\right)-2022.2024\)
\(=-2.2023+2023.2024-2022.2024\)
\(=-2022\)
\(\Rightarrow A=\dfrac{-2022}{2023.2024}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
30 tháng 12 2020
1. Đề thiếu
2. BĐT cần chứng minh tương đương:
\(a^4+b^4+c^4\ge abc\left(a+b+c\right)\)
Ta có:
\(a^4+b^4+c^4\ge\dfrac{1}{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\ge\dfrac{1}{3}\left(ab+bc+ca\right)^2\ge\dfrac{1}{3}.3abc\left(a+b+c\right)\) (đpcm)
3.
Ta có:
\(\left(a^6+b^6+1\right)\left(1+1+1\right)\ge\left(a^3+b^3+1\right)^2\)
\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{1}{\sqrt{3}}\left(a^3+b^3+1+b^3+c^3+1+c^3+a^3+1\right)\)
\(VT\ge\sqrt{3}+\dfrac{2}{\sqrt{3}}\left(a^3+b^3+c^3\right)\)
Lại có:
\(a^3+b^3+1\ge3ab\) ; \(b^3+c^3+1\ge3bc\) ; \(c^3+a^3+1\ge3ca\)
\(\Rightarrow2\left(a^3+b^3+c^3\right)+3\ge3\left(ab+bc+ca\right)=9\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\ge3\)
\(\Rightarrow VT\ge\sqrt{3}+\dfrac{6}{\sqrt{3}}=3\sqrt{3}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
30 tháng 12 2020
4.
Ta có:
\(a^3+1+1\ge3a\) ; \(b^3+1+1\ge3b\) ; \(c^3+1+1\ge3c\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3+6\ge3\left(a+b+c\right)=9\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\ge3\)
5.
Ta có:
\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{c}}\) ; \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{c}{b}}\) ; \(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{b}{a}}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\dfrac{b}{a}}+\sqrt{\dfrac{c}{b}}+\sqrt{\dfrac{a}{c}}\le\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}=1\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
15 tháng 6 2019
\(2^2+4^2+...+\left(2n\right)^2=2^2\left(1^2+2^2+...+n^2\right)\)
\(=\frac{2^2.n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}=\frac{2n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{3}\)
\(\Rightarrow\) Sai, nhưng số 1 và số 4 khi viết trên bảng rất giống nhau, bạn có chắc mình ko nhìn nhầm và chép nhầm đề ko?
\(1+\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{n\left(n+1\right)}\)
Do \(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{n\left(n+1\right)}>0\) nên \(1+\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{n\left(n+1\right)}>1\) (đúng)
Lại nghi ngờ bạn chép nhầm đề, ko ai cho đề bài kiểu này cả, hoặc là vế phải là số 2, hoặc vế trái bạn thừa số 1 đầu tiên
Ta có: A = 1.2.3+3.4.5+5.6.7+...+99.100.101
A = 1.3 (5-3) + 3.5 (7-3) + 5.7 (9-3) + ............ + 99.101 (103 - 3)
A = (1.3.5 + 3.5.7 + 5.7.9 + .......... + 99.101.103) - (1.3.3 + 3.5.3 + ....... + 99.101.3)
A = (15+99.101.103.105) : 8 - 3.(1.3 + 3.5 +5.7 + ...... + 99.101)
A = 13517400 - 3.171650
A = 13002450