K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
AH
Akai Haruma
Giáo viên
30 tháng 5 2020
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopkxy:
\((2a^2+b^2)(2a^2+c^2)=(a^2+a^2+b^2)(a^2+c^2+a^2)\geq (a^2+ac+ab)^2\)
\(=[a(a+b+c)]^2\)
\(\Rightarrow \frac{a^3}{(2a^2+b^2)(2a^2+c^2)}\leq \frac{a^3}{[a(a+b+c)]^2}=\frac{a}{(a+b+c)^2}\)
Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế thu được:
\(\sum \frac{a^3}{(2a^2+b^2)(2a^2+c^2)}\leq \frac{a+b+c}{(a+b+c)^2}=\frac{1}{a+b+c}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
Giải sai
Xét từng hạng tử vế trái:
*\(\frac{2\left(a^3+b^3+c^3\right)}{abc}\ge\frac{2\cdot3\sqrt[3]{abc}}{\sqrt[3]{a^3b^3c^3}}=6\sqrt[3]{\frac{1}{a^2b^2c^2}}\ge6\)(*)
**\(\frac{9\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2}=\frac{9\left(a^2+b^2+c^2\right)+18\left(ab+bc+ca\right)}{a^2+b^2+c^2}=9+\frac{18\left(ab+bc+ca\right)}{a^2+b^2+c^2}\)(1)
Mà \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
Suy ra \(\left(1\right)\ge9+\frac{18\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a^2+b^2+c^2}=9+18=27\)(**)
Cộng vế theo vế (*) và (**) ta được điều phải chứng minh.