Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Đề bài sai rồi bạn, đáng lẽ đề bài phải như thế này:
Chứng minh rằng với mọi \(x\in[-\frac{3}{4};+\infty)\) thì \(\frac{x}{x^2+1}\le\frac{18}{25}x+\frac{3}{50}\)
Ta sẽ phân tích bất phương trình kia
\(\Leftrightarrow0,72x+0,06\ge\frac{x}{x^2+1}\)
\(\Leftrightarrow0,72x^3+0,06x^2-0,28x+0,06\ge0\)
\(\Leftrightarrow0,72\left(x+\frac{3}{4}\right)\left(x-\frac{1}{3}\right)^2\ge0\Leftrightarrow x\ge-\frac{3}{4}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(1=xyz\le\left(\frac{x+y+z}{3}\right)^3\Rightarrow x+y+z\ge3\)
Đặt vế trái là P, ta có: \(P\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3+\left(x+y+z\right)}\)
Đặt \(x+y+z=t\Rightarrow t\ge3\)
Ta cần chứng minh \(\frac{t^2}{t+3}\ge\frac{3}{2}\Leftrightarrow2t^2-3t-9\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(2t+3\right)\left(t-3\right)\ge0\) (luôn đúng với mọi \(t\ge3\))
Dấu "=" xảy ra khi \(t=3\) hay \(x=y=z=1\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
1.
\(6=\frac{\sqrt{2}^2}{x}+\frac{\sqrt{3}^2}{y}\ge\frac{\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)^2}{x+y}=\frac{5+2\sqrt{6}}{x+y}\)
\(\Rightarrow x+y\ge\frac{5+2\sqrt{6}}{6}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{x}{\sqrt{2}}=\frac{y}{\sqrt{3}}\\x+y=\frac{5+2\sqrt{6}}{6}\end{matrix}\right.\)
Bạn tự giải hệ tìm điểm rơi nếu thích, số xấu quá
2.
\(VT\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2}\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\frac{81}{\left(x+y+z\right)^2}}\)
Đặt \(x+y+z=t\Rightarrow0< t\le1\)
\(VT\ge\sqrt{t^2+\frac{81}{t^2}}=\sqrt{t^2+\frac{1}{t^2}+\frac{80}{t^2}}\ge\sqrt{2\sqrt{\frac{t^2}{t^2}}+\frac{80}{1^2}}=\sqrt{82}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
3.
\(\frac{a^2}{b^5}+\frac{a^2}{b^5}+\frac{a^2}{b^5}+\frac{1}{a^3}+\frac{1}{a^3}\ge5\sqrt[5]{\frac{a^6}{b^{15}.a^6}}=\frac{5}{b^3}\)
Tương tự: \(\frac{3b^2}{c^5}+\frac{2}{b^3}\ge\frac{5}{a^3}\) ; \(\frac{3c^2}{d^5}+\frac{2}{c^3}\ge\frac{5}{d^3}\) ; \(\frac{3d^2}{a^5}+\frac{2}{d^2}\ge\frac{5}{a^3}\)
Cộng vế với vế và rút gọn ta được: \(3VT\ge3VP\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=d=1\)
4.
ĐKXĐ: \(-2\le x\le2\)
\(y^2=\left(x+\sqrt{4-x^2}\right)^2\le2\left(x^2+4-x^2\right)=8\)
\(\Rightarrow y\le2\sqrt{2}\Rightarrow y_{max}=2\sqrt{2}\) khi \(x=\sqrt{2}\)
Mặt khác do \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge-2\\\sqrt{4-x^2}\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x+\sqrt{4-x^2}\ge-2\)
\(y_{min}=-2\) khi \(x=-2\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}\ge\frac{4}{x+y}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy BĐT đã cho đúng. Dấu "=" xảy ra khi \(x=y\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
PT cho tđuong với: (x^2 +9). (x^2 + 9x) = 22 (x-1)^2
Đặt t = [x^2 + 9 + x^2 + 9x]/2 hay t= x^2 + (9x + 9)/2.
Khi đó: x^2 + 9 = t - 9(x-1)/2
x^2 + 9x = t + 9(x-1)/2
PT cho trở thành: [t - 9(x-1)/2]. [t + 9(x-1)/2] = 22(x-1)^2
<=> t^2 -(81/4)(x-1)^2 = 22(x-1)^2
<=> t^2 = (169/4)(x-1)^2
<=> t = 13/2. (x-1) hoặc t= -13/2. (x-1)
<=> 2t =13x -13 hoặc 2t =-13x + 13
hay 2x^2 + 9x+ 9 =13x -13 hoặc 2x^2 + 9x +9 = -13x +13
hay 2x^2 - 4x +22 =0 hoặc 2x^2 + 22x - 4 =0
PT bậc hai thứ nhất vô nghiệm, PT bậc hai thứ hai cho ta hai nghiệm là:
x= (-11 +căn(129))/2 , x= (-11 - căn(129))/2.
cách 2:đặt x-1=k
pt trở thành (k+1)(k2+2k+10)(k+10)=22k2
<=>(k2+2k+10)(k2+11k+10)=22k2
tự làm tiếp
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Lời giải:
Xét hiệu:
\(x^2+y^2+z^2-\frac{(x+y+z)^2}{3}=\frac{3(x^2+y^2+z^2)-(x+y+z)^2}{3}=\frac{2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2xz}{3}\)
\(=\frac{(x^2+y^2-2xy)+(y^2+z^2-2yz)+(z^2+x^2-2zx)}{3}=\frac{(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2}{3}\geq 0, \forall x,y,z\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\geq \frac{(x+y+z)^2}{3}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $(x-y)^2=(y-z)^2=(z-x)^2=0$ hay $x=y=z$
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Đặt \(x^2=a\ge0;y^2=b\ge0\)
Ta có BĐT phụ:\(4ab\le\left(a+b\right)^2\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\left(true\right)\)
Ta có:\(\frac{4ab}{\left(a+b\right)^2}+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{\left(a+b\right)^2}+2\sqrt{\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{a}}=3\) ( BĐT AM-GM )
Ta có đpcm
Câu 2:
\(\frac{a^2b}{2a^3+b^3}-\frac{1}{3}+1-\frac{a^2+2ab}{2a^2+b^2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2}{2a^2+b^2}-\frac{\left(a-b\right)^2\left(2a+b\right)}{3\left(2a^3+b^3\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left[\frac{1}{2a^2+b^2}-\frac{\left(2a+b\right)}{3\left(2a^3+b^3\right)}\right]\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{2\left(a-b\right)^4\left(a+b\right)}{3\left(2a^2+b^2\right)\left(2a^3+b^3\right)}\ge0\left(ok!\right)\)
Em tính/ quy đồng/ phân tích thành nhân tử sai chỗ nào thì chị tự check nhá:)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
1) ( x, y, z chứng minh rằng : a) x + y + z xy+ yz + zx b) x + y + z 2xy – 2xz + 2yz c) x + y + z+3 2 (x + y + z) Giải: a) Ta xét hiệu x + y + z- xy – yz - zx =.2 .( x + y + z- xy – yz – zx) =đúng với mọi x;y;z Vì (x-y)2 0 với(x ; y Dấu bằng xảy ra khi x=y (x-z)2 0 với(x ; z Dấu bằng xảy ra khi x=z (y-z)2 0 với( z; y Dấu bằng xảy ra khi z=y Vậy x + y + z xy+ yz + zx Dấu bằng xảy ra khi x = y =z b)Ta xét hiệu x + y + z- ( 2xy – 2xz +2yz ) = x + y + z- 2xy +2xz –2yz =( x – y + z) đúng với mọi x;y;z Vậy x + y + z 2xy – 2xz + 2yz đúng với mọi x;y;z Dấu bằng xảy ra khi x+y=z c) Ta xét hiệu x + y + z+3 – 2( x+ y +z ) = x- 2x + 1 + y -2y +1 + z-2z +1 = (x-1)+ (y-1) +(z-1) 0 Dấu(=)xảy ra khi x=y=z=1 2) chứng minh rằng :a) ;b) c) Hãy tổng quát bài toángiảia) Ta xét hiệu = = = Vậy Dấu bằng xảy ra khi a=bb)Ta xét hiệu = VậyDấu bằng xảy ra khi a = b =cc)Tổng quát 3) Chứng minh (m,n,p,q ta đều có m+ n+ p+ q+1( m(n+p+q+1) Giải: (luôn đúng)Dấu bằng xảy ra khi 4) Cho a, b, c, d,e là các số thực chứng minh rằng a) b) c) Giải: a) (bất đẳng thức này luôn đúng) Vậy (dấu bằng xảy ra khi 2a=b) b) Bất đẳng thức cuối đúng. Vậy Dấu bằng xảy ra khi a=b=1 c) Bất đẳng thức đúng vậy ta có điều phải chứng minh5) Chứng minh rằng: Giải: a2b2(a2-b2)(a6-b6) 0 a2b2(a2-b2)2(a4+ a2b2+b4) 0Bất đẳng thứccuối đúng vậy ta có điều phải chứng minh 6) cho x.y =1 và x>y Chứng minh Giải: vì :xy nên x- y 0 x2+y2 ( x-y) x2+y2- x+y 0 x2+y2+2- x+y -2 0 x2+y2+()2- x+y -2xy 0 vì x.y=1 nên 2.x.y=2(x-y-)2 0 Điều này luôn luôn đúng . Vậy ta có điều phải chứng minh7) 1)CM: P(x,y)= 2)CM: (Text
\(x^2+3+\frac{1}{x^2+3}=\frac{x^2+3}{9}+\frac{1}{x^2+3}+\frac{8\left(x^2+3\right)}{9}\ge2\sqrt{\frac{x^2+3}{9\left(x^2+3\right)}}+\frac{8.\left(0+3\right)}{9}=\frac{10}{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=0\)