K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

AH
Akai Haruma
Giáo viên
28 tháng 2 2020

Bài 1:

Ta có:

\(x^2+xy+y^2=\frac{3}{4}(x^2+2xy+y^2)+\frac{1}{4}(x^2-2xy+y^2)\)

\(=\frac{3}{4}(x+y)^2+\frac{1}{4}(x-y)^2\geq \frac{3}{4}(x+y)^2\)

\(\Rightarrow \sqrt{x^2+xy+y^2}\geq \frac{\sqrt{3}(x+y)}{2}\)

Hoàn toàn tương tự:

\(\sqrt{y^2+yz+z^2}\geq \frac{\sqrt{3}(y+z)}{2}; \sqrt{z^2+xz+x^2}\geq \frac{\sqrt{3}(x+z)}{2}\)

Cộng theo vế các BĐT trên:

\(\Rightarrow \sqrt{x^2+xy+y^2}+\sqrt{y^2+yz+z^2}+\sqrt{z^2+xz+x^2}\geq \sqrt{3}(x+y+z)\)

Ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z$

AH
Akai Haruma
Giáo viên
28 tháng 2 2020

Bài 2:

BĐT cần chứng minh tương đương với:

$4(a^9+b^9)-(a+b)(a^3+b^3)(a^5+b^5)\geq 0$

$\Leftrightarrow 4(a+b)(a^8-a^7b+a^6b^2-a^5b^3+a^4b^4-a^3b^5+a^2b^6-ab^7+b^8)-(a+b)(a^8+a^3b^5+a^5b^3+b^8)\geq 0$

$\Leftrightarrow 4(a^8-a^7b+a^6b^2-a^5b^3+a^4b^4-a^3b^5+a^2b^6-ab^7+b^8)-(a^8+a^3b^5+a^5b^3+b^8)\geq 0$

$\Leftrightarrow 3a^8+3b^8+4a^6b^2+4a^2b^6+4a^4b^4-(4a^7b+4ab^7+5a^5b^3+5a^3b^5)\geq 0$

$\Leftrightarrow (a-b)^2(a^2-ab+b^2)(3a^4+5a^3b+7a^2b^2+5ab^3+3b^4)\geq 0$

BĐT trên luôn đúng vì:

$(a-b)^2\geq 0, \forall a,b$

$a^2-ab+b^2=(a-\frac{b}{2})^2+\frac{3}{4}b^2\geq 0, \forall a,b$

$3a^4+5a^3b+7a^2b^2+5ab^3+3b^4=3(a^4+b^4+2a^2b^2)+a^2b^2+5ab(a^2+b^2)$

$=3(a^2+b^2)^2+5ab(a^2+b^2)+a^2b^2$

$=(a^2+b^2)(3a^2+3b^2+5ab)+a^2b^2=(a^2+b^2)[3(a+\frac{5}{6}b)^2+\frac{11}{12}b^2]+a^2b^2\geq 0$ với mọi $a,b$

Do đó ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi $a=b$ hoặc $a+b=0$

18 tháng 2 2022

+) Tìm trên mạng thì đề thiếu xy + yz - zx = 7 

+) Nếu bổ sung đề: Tìm x; y ; z nguyên dương thì có thể làm như sau: 

Không mất tính tổng quát: g/s: 

x ≥ y ≥ z

Vì x2 + y2 + z2 = 14 => 

x 2 ≤ 14

⇒ x ≤ √ 14 < 4

  Vì x nguyên dương 

=> x  ∈ { 1; 2; 3}

+)Vớix=3=>\hept{y+z=3y2+z2=5⇒\hept{y+z=y2≤5

6 tháng 3 2018

Ta có: \(\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+xz\right)\ge9xyz\)

\(VT=\dfrac{x}{1+yz}+\dfrac{y}{1+xz}+\dfrac{z}{1+xy}\)

\(=\dfrac{x^2}{x+xyz}+\dfrac{y^2}{y+xyz}+\dfrac{z^2}{z+xyz}\)

\(\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+3xyz}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\dfrac{\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+xz\right)}{3}}\)

\(=\dfrac{3\left(x+y+z\right)}{4}\). Cần chứng minh:

\(\dfrac{3\left(x+y+z\right)}{4}\ge\dfrac{3\sqrt{3}}{4}\Leftrightarrow x+y+z\ge\sqrt{3}\)

BĐT cuối đúng vì \(x+y+z\ge\sqrt{3\left(xy+yz+xz\right)}=\sqrt{3}\)

\("="\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)

Ps: nospoiler

6 tháng 3 2018

Dùng cosi dạng engel là ra

28 tháng 1 2023

6 tháng 10 2019

Em chưa thử nhưng chắc quy đồng full đi ak?

13 tháng 2 2020

Ai giải hộ câu này nhanh đi mà