Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1. Áp dụng quy tắc L'Hopital
\(\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\sqrt{x+1}-1}{f\left(0\right)-f\left(x\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}}{-f'\left(0\right)}=-\dfrac{1}{6}\)
2.
\(g'\left(x\right)=2x.f'\left(\sqrt{x^2+4}\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\f'\left(\sqrt{x^2+4}\right)=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\\sqrt{x^2+4}=1\\\sqrt{x^2+4}=-2\end{matrix}\right.\)
2 pt cuối đều vô nghiệm nên \(g'\left(x\right)=0\) có đúng 1 nghiệm
Lời giải:
Từ $f(1+3x)=2x-f(1-2x)$ thay $x=0$ suy ra $f(1)=1$
$f(1+3x)=2x-f(1-2x)$
$\Rightarrow f'(1+3x)=(2x)'-f'(1-2x)$
$\Leftrightarrow 3f'(1+3x)=2+2f'(1-2x)$. Thay $x=0$ suy ra $f'(1)=2$
PTTT của $f(x)$ tại điểm $x=1$ là:
$y=f'(1)(x-1)+f(1)=2(x-1)+1=2x-1$
1) \(f\left(x\right)=2x-5\)
\(f'\left(x\right)=2\)
\(\Rightarrow f'\left(4\right)=2\)
2) \(y=x^2-3\sqrt[]{x}+\dfrac{1}{x}\)
\(\Rightarrow y'=2x-\dfrac{3}{2\sqrt[]{x}}-\dfrac{1}{x^2}\)
3) \(f\left(x\right)=\dfrac{x+9}{x+3}+4\sqrt[]{x}\)
\(\Rightarrow f'\left(x\right)=\dfrac{1.\left(x+3\right)-1.\left(x+9\right)}{\left(x-3\right)^2}+\dfrac{4}{2\sqrt[]{x}}\)
\(\Rightarrow f'\left(x\right)=\dfrac{x+3-x-9}{\left(x-3\right)^2}+\dfrac{2}{\sqrt[]{x}}\)
\(\Rightarrow f'\left(x\right)=\dfrac{12}{\left(x-3\right)^2}+\dfrac{2}{\sqrt[]{x}}\)
\(\Rightarrow f'\left(x\right)=2\left[\dfrac{6}{\left(x-3\right)^2}+\dfrac{1}{\sqrt[]{x}}\right]\)
\(\Rightarrow f'\left(1\right)=2\left[\dfrac{6}{\left(1-3\right)^2}+\dfrac{1}{\sqrt[]{1}}\right]=2\left(\dfrac{3}{2}+1\right)=2.\dfrac{5}{2}=5\)
1a.
\(y'=3x^2.f'\left(x^3\right)-2x.g'\left(x^2\right)\)
b.
\(y'=\dfrac{3f^2\left(x\right).f'\left(x\right)+3g^2\left(x\right).g'\left(x\right)}{2\sqrt{f^3\left(x\right)+g^3\left(x\right)}}\)
2.
\(f'\left(x\right)=\left(m-1\right)x^3+\left(m-2\right)x^2-2mx+3=0\)
Để ý rằng tổng hệ số của vế trái bằng 1 nên pt luôn có nghiệm \(x=1\), sử dụng lược đồ Hooc-ne ta phân tích được:
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left[\left(m-1\right)x^2+\left(2m-3\right)x-3\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\\left(m-1\right)x^2+\left(2m-3\right)x-3=0\left(1\right)\end{matrix}\right.\)
Xét (1), với \(m=1\Rightarrow x=-3\)
- Với \(m\ne1\Rightarrow\Delta=\left(2m-3\right)^2+12\left(m-1\right)=4m^2-3\)
Nếu \(\left|m\right|< \dfrac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow\) (1) vô nghiệm \(\Rightarrow f'\left(x\right)=0\) có đúng 1 nghiệm
Nếu \(\left|m\right|>\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow\left(1\right)\) có 2 nghiệm \(\Rightarrow f'\left(x\right)=0\) có 3 nghiệm
