1, Cho ba số a, b, c thỏa mãn : a+b+c=0: a^2+b^2+c^2=2009, Tính .a^4+b^4+c^4

K

Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

Chọn lớp

Chọn môn

Mua vip

TA

Trần Anh Tú

15 tháng 2 2018

1, Cho ba số a, b, c thỏa mãn : a+b+c=0: a^2+b^2+c^2=2009, Tính .a^4+b^4+c^4

#Toán lớp 10

1

MM

Me Mo Mi

11 tháng 7 2018

https://i.imgur.com/tq2ocuN.jpg

Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên

LN

Lê Nam Hải

7 tháng 7 2020 - olm

1. Cho a,b,c thực dương thỏa mãn: abc=1

Tìm GTLN:

A= \(\frac{a}{b^4+c^4+a}+\frac{b}{a^4+c^4+b}+\frac{c}{a^4+b^4+c}\)

2. Cho a,b,c thực dương thỏa mãn: abc= a+b+c+2

Tìm max:

P= \(\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}+\frac{1}{\sqrt{b^2+c^2}}+\frac{1}{\sqrt{a^2+c^2}}\)

#Toán lớp 10

2

N

nub

8 tháng 7 2020

\(b^4+c^4-bc\left(b^2+c^2\right)=\left(b^2+bc+c^2\right)\left(b-c\right)^2\)

\(\Rightarrow b^4+c^4\ge bc\left(b^2+c^2\right)\)

Tương tự\(\Rightarrow\Sigma_{cyc}\frac{a}{a+b^4+c^4}\le\Sigma_{cyc}\frac{a}{a+bc\left(b^2+c^2\right)}=\Sigma_{cyc}\frac{a}{bc\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}\Sigma_{cyc}\frac{a}{bc}\)

\(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}=\frac{a^2+b^2+c^2}{abc}=a^2+b^2+c^2\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a^2+b^2+c^2}\left(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\right)=1\)

oke rồi he

ZC

zZz Cool Kid_new zZz

8 tháng 7 2020

@Nub :v

Áp dụng Bunhiacopski ta dễ có:

\(\frac{a}{b^4+c^4+a}=\frac{a\left(1+1+a^3\right)}{\left(b^4+c^4+a\right)\left(1+1+a^3\right)}\le\frac{a^4+2a}{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}\)

Tương tự:

\(\frac{b}{a^4+c^4+b}\le\frac{b^4+2b}{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2};\frac{c}{a^4+b^4+c}\le\frac{c^4+2c}{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}\)

Cộng lại:

\(A\le\frac{a^4+b^4+c^4+2a+2b+2c}{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}\)

Ta đi chứng minh:

\(\frac{a^4+b^4+c^4+2a+2b+2c}{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}\le1\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\ge abc\left(a+b+c\right)\)

Cái này luôn đúng theo Cauchy

Đẳng thức xảy ra tại a=b=c=1

LN

Lê Nam Hải

7 tháng 7 2020 - olm

1. Cho a,b,c thực dương thỏa mãn: abc=1Tìm GTLN: A= \(\frac{a}{b^4+c^4+a}+\frac{b}{a^4+c^4+b}+\frac{c}{a^4+b^4+c}\)2. Cho a,b,c thực dương thỏa mãn: abc= a+b+c+2Tìm...

#Toán lớp 10

1

ZC

zZz Cool Kid_new zZz

8 tháng 7 2020

Áp dụng AM - GM

\(P=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}+\frac{1}{\sqrt{b^2+c^2}}+\frac{1}{\sqrt{c^2+a^2}}\ge\frac{1}{\sqrt{2ab}}+\frac{1}{\sqrt{2bc}}+\frac{1}{\sqrt{2ca}}\)

\(abc=a+b+c+2\)

\(\Leftrightarrow\left(a+1\right)\left(b+1\right)+\left(b+1\right)\left(c+1\right)+\left(c+1\right)\left(a+1\right)\ge\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}=1\)

Với mọi số thực x,y,z ta có ngay:

\(\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+z}+\frac{z}{x+y+z}=1\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{1+\frac{y+z}{x}}+\frac{1}{1+\frac{z+x}{y}}+\frac{1}{1+\frac{x+y}{z}}=1\)

Khi đó ta có thể đặt được \(\left(a;b;c\right)\rightarrow\left(\frac{y+z}{x};\frac{z+x}{y};\frac{x+y}{z}\right)\)

Thay vào thì dễ có:

\(\sqrt{\frac{xy}{\left(y+z\right)\left(z+x\right)}}+\sqrt{\frac{yz}{\left(z+x\right)\left(x+y\right)}}+\sqrt{\frac{zx}{\left(z+y\right)\left(x+y\right)}}\)

\(\le\frac{1}{2}\Sigma\left(\frac{x}{x+z}+\frac{z}{x+z}\right)=\frac{3}{2}\)

Vậy ...........................

KH

Kimian Hajan Ruventaren

16 tháng 1 2021

Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=1. Tìm GTNN của biểu thức \(P=\dfrac{1}{a}+\dfrac{4}{b}+\dfrac{9}{c}\)

#Toán lớp 10

1

HP

Hồng Phúc

16 tháng 1 2021

Áp dụng BĐT BSC:

\(P=\dfrac{1}{a}+\dfrac{4}{b}+\dfrac{9}{c}\ge\dfrac{\left(1+2+3\right)^2}{a+b+c}=\dfrac{36}{1}=36\)

\(minP=36\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{1}{6}\\b=\dfrac{1}{3}\\c=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

NT

Nguyễn Tùng Anh

17 tháng 1 2022

Cho ba số thực a,b,c thỏa mãn điều kiện \(a^3+b^3+c^3-3abc=1\)

Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=a^2+b^2+c^2\)

#Toán lớp 10

1

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

17 tháng 1 2022

\(a^3+b^3+c^3-3abc=1\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)-3abc=1\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=1\) (1)

Do \(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca>0\Rightarrow a+b+c>0\)

(1)\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=\dfrac{1}{a+b+c}\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca+\dfrac{1}{a+b+c}\)

\(\Leftrightarrow3a^2+3b^2+3c^2=\left(a+b+c\right)^2+\dfrac{1}{a+b+c}\ge3\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge1\)

NT

Nguyễn Tùng Anh

19 tháng 1 2022

Bạn có thể giải thích phần (1) <=> với cái đó được ko. Mình vẫn chưa hiểu mấy bước sau lắm

PK

Phạm Kim Oanh

1 tháng 4 2022

Cho các số thực dương : \(a;b;c\) thỏa mãn điều kiện : \(ab+bc+ac+abc=4\)Chứng minh rằng : \(\dfrac{1}{\sqrt{2.\left(a^2+b^2\right)}+4}+\dfrac{1}{\sqrt{2.\left(b^2+c^2\right)}+4}+\dfrac{1}{\sqrt{2.\left(c^2+a^2\right)}+4}\le\dfrac{1}{2}\)P/s: Em xin phép nhờ sự giúp đỡ của quý thầy cô giáo và các bạn yêu toán. Em cám ơn nhiều lắm...

#Toán lớp 10

1

KB

Khôi Bùi

2 tháng 4 2022

Dễ dàng c/m : \(\dfrac{1}{a+2}+\dfrac{1}{b+2}+\dfrac{1}{c+2}=1\)

Ta có : \(\dfrac{1}{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}+4}\le\dfrac{1}{a+b+4}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a+2}+\dfrac{1}{b+2}\right)\)

Suy ra : \(\Sigma\dfrac{1}{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}+4}\le2.\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a+2}+\dfrac{1}{b+2}+\dfrac{1}{c+2}\right)=\dfrac{1}{2}.1=\dfrac{1}{2}\)

" = " \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

PK

Phạm Kim Oanh

2 tháng 4 2022

Dạ em cám ơn nhiều lắm ạ

K

Kuramajiva

30 tháng 12 2020

Câu 1: Chứng minh \(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{(n-1)n}\) với ∀n∈\(N^*\)Câu 2: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng: \(\frac{a^4+b^4+c^4}{a+b+c}\geq abc\).Câu 3: Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn \(ab+bc+ca=3\). Chứng minh rằng: \(\sqrt{a^6+b^6+1}+\sqrt{b^6+c^6+1}+\sqrt{c^6+a^6+1}\geq 3\sqrt{3}\)Câu 4: Cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn \(a+b+c=3\).Chứng minh rằng: \(a^3+b^3+c^3\geq 3\)Câu 5:...

#Toán lớp 10

3

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

30 tháng 12 2020

1. Đề thiếu

2. BĐT cần chứng minh tương đương:

\(a^4+b^4+c^4\ge abc\left(a+b+c\right)\)

Ta có:

\(a^4+b^4+c^4\ge\dfrac{1}{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\ge\dfrac{1}{3}\left(ab+bc+ca\right)^2\ge\dfrac{1}{3}.3abc\left(a+b+c\right)\) (đpcm)

3.

Ta có:

\(\left(a^6+b^6+1\right)\left(1+1+1\right)\ge\left(a^3+b^3+1\right)^2\)

\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{1}{\sqrt{3}}\left(a^3+b^3+1+b^3+c^3+1+c^3+a^3+1\right)\)

\(VT\ge\sqrt{3}+\dfrac{2}{\sqrt{3}}\left(a^3+b^3+c^3\right)\)

Lại có:

\(a^3+b^3+1\ge3ab\) ; \(b^3+c^3+1\ge3bc\) ; \(c^3+a^3+1\ge3ca\)

\(\Rightarrow2\left(a^3+b^3+c^3\right)+3\ge3\left(ab+bc+ca\right)=9\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\ge3\)

\(\Rightarrow VT\ge\sqrt{3}+\dfrac{6}{\sqrt{3}}=3\sqrt{3}\)

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

30 tháng 12 2020

4.

Ta có:

\(a^3+1+1\ge3a\) ; \(b^3+1+1\ge3b\) ; \(c^3+1+1\ge3c\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3+6\ge3\left(a+b+c\right)=9\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\ge3\)

5.

Ta có:

\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{c}}\) ; \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{c}{b}}\) ; \(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{b}{a}}\)

\(\Rightarrow\sqrt{\dfrac{b}{a}}+\sqrt{\dfrac{c}{b}}+\sqrt{\dfrac{a}{c}}\le\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}=1\)

TC

TXT Channel Funfun

7 tháng 10 2019

Cho ba số thực dương a, b, c thuộc đoạn [-1; 1] thỏa mãn \(1+2abc\ge a^2+b^2+c^2\). Chứng minh rằng :

\(1+2a^2b^2c^2\ge a^4+b^4+c^4\)

#Toán lớp 10

1

VH

Võ Hồng Phúc

21 tháng 10 2019

@Nguyễn Việt Lâm

LT

Lê Trần Mỹ Quyên

10 tháng 10 2021

Bài 10 : Xét sự thăng hàng của ba điểm A , B , C

1 / A ( −1 ; 1 ) , B ( 0 ; −1 ) , C ( 1 ; −3 )

2 / A ( 2 : 0 ) , B ( 5 : 1 ) , C ( -1 ; -1 )

3 / A ( 4 : 3 ) , B ( 2 : 0 ) .C ( 0 ; −3 )

4 / A ( −1 ; 2 ) , B ( 2 : 3 ) , C ( 4 : −1 )

#Toán lớp 10

0

KH

Kimian Hajan Ruventaren

10 tháng 4 2021

Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh BC=a, AC=b, AB=c thỏa mãn \(a^4+b^4+c^4=2a^2b^2+2a^2c^2\). Tìm số đo góc \(\widehat{BAC}\)

#Toán lớp 10

1

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

10 tháng 4 2021

Giả thiết tương đương:

\(a^4+b^4+c^4+2b^2c^2=2a^2\left(b^2+c^2\right)+2b^2c^2\)

\(\Leftrightarrow a^4+\left(b^2+c^2\right)^2=2a^2\left(b^2+c^2\right)+2b^2c^2\)

\(\Leftrightarrow\left(b^2+c^2-a^2\right)^2=2b^2c^2\)

\(\Leftrightarrow b^2+c^2-a^2=\pm\sqrt{2}bc\)

\(cosA=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\dfrac{\pm\sqrt{2}bc}{2bc}=\pm\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}A=45^0\\A=135^0\end{matrix}\right.\)

LQ

Lâm Quang Vũ

28 tháng 12 2022

kết quả ra 60 hoặc 120