K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

4 tháng 6 2020

\(A=x^2+y^2+z^2\le\left(x+y+z\right)^2=9\)

gtln của A = 9

Với  \(x=y=z=1\)

easy không ? =)

Có 0 <= x,y,z      =>   xyz >= 0                           

Có x,y,z <=2       => (2-x)(2-y)(2-z)>=0        =>  8 - 4(x+y+z) + 2(xy+yz+zx) -xyz >=0

Từ đó => 8 - 4(a+b+c) +2(ab+bc+ca)>=0

=> 8 - 4(a+b+c) + (a+b+c)^2 >= a^2+b^2+c^2

=> 8 -4.3 +3^2 >=A   (vì x+y+z=3)

=> 5>= A

Dấu "=" xảy ra khi x=2,y=1,z=0

Vậy Max A =5 khi x=2,y=1,z=0

NV
13 tháng 6 2020

\(0\le x;y;z\le2\Rightarrow\left(2-x\right)\left(2-y\right)\left(2-z\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow8+2\left(xy+yz+zx\right)-4\left(x+y+z\right)-xyz\ge0\)

\(\Leftrightarrow2\left(xy+yz+zx\right)\ge4+xyz\ge4\)

\(\Rightarrow xy+yz+zx\ge2\)

\(\Rightarrow Q=\left(x+y+z\right)^2-2\left(xy+yz+zx\right)\le9-2.2=5\)

\(Q_{max}=5\) khi \(\left(x;y;z\right)=\left(0;1;2\right)\) và hoán vị

AH
Akai Haruma
Giáo viên
14 tháng 11 2019

Lời giải:

Do $x,y,z\in [0;2]\Rightarrow (x-2)(y-2)(z-2)\leq 0$

$\Leftrightarrow xyz-2(xy+yz+xz)+4(x+y+z)-8\leq 0$

$\Leftrightarrow 2(xy+yz+xz)\geq 4(x+y+z)-8+xyz$

Mà $4(x+y+z)-8+xyz=4.3-8+xyz=4+xyz\geq 4$ do $x,y,z\geq 0$

Do đó $2(xy+yz+xz)\geq 4$

Suy ra $x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+xz)=9-2(xy+yz+xz)\leq 9-4=5$

Ta có đpcm. Dấu "=" xảy ra khi $(x,y,z)=(2,1,0)$ và các hoán vị.

19 tháng 11 2019

Có nhiều cách!

Cách 2:Giả sử \(x\ge y\ge z\Rightarrow3x\ge x+y+z=3\Rightarrow2\ge x\ge1\)

Ta có: \(x^2+y^2+z^2\le x^2+y^2+2yz+z^2=x^2+\left(y+z\right)^2\)

\(=x^2+\left(3-x\right)^2=2x^2-6x+9\)

\(=2\left(x-1\right)\left(x-2\right)+5\le5\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(2;1;0\right)\) và các hoán vị

Vậy...

Cách 3: Dùng khai triển Abel: Câu hỏi của Thảo Lê - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath (em không chắc lắm nhưng cứ đăng)

\(A=\sqrt{x^2+y\left(y-2x\right)}+\sqrt{y^2+z\left(z-2y\right)}+\sqrt{x^2+z\left(z-2x\right)}\)

\(=\sqrt{x^2-2xy+y^2}+\sqrt{y^2-2yz-z^2}+\sqrt{x^2-2xz+z^2}\)

\(=\sqrt{\left(x-y\right)^2}+\sqrt{\left(y-z\right)^2}+\sqrt{\left(z-x\right)^2}\)

\(=x-y+y-z+z-x\)

\(=0\)

16 tháng 10 2019

Đặt \(a=x-y;b=y-z\) thì \(2\ge a,b\ge-2\) và a, b khác 0; \(a\ne-b\)( vì nếu a = -b thì a + b = 0 hay x -z = 0 => z - x = 0 (vô lí) )

Xét: \(2\ge a,b>0\) thì \(\frac{9}{\left(a+b\right)^2}\ge\frac{9}{\left(2+2\right)^2}=\frac{9}{16}\) vì khi đó a + b >0 nên (a+b)2 \(\le\left(2+2\right)^2=16\))

Xét \(-2\le a,b< 0\) thì a + b < 0 suy ra \(\left(a+b\right)^2< \left(-2+-2\right)^2=16\)

Từ 2 trường hợp trên ta suy ra \(\frac{9}{\left(a+b\right)^2}\ge\frac{9}{16}\).

Ta có: \(P=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{\left(a+b\right)^2}\ge\frac{2}{ab}+\frac{1}{\left(a+b\right)^2}\ge\frac{8}{\left(a+b\right)^2}+\frac{1}{\left(a+b\right)^2}=\frac{9}{\left(a+b\right)^2}\ge\frac{9}{16}\)

Vậy...

P/s: Em ko chắc. @Nguyễn Việt Lâm: Em làm thế này có đúng ko ạ? Em ko chắc chỗ xét 2 th ấy, có giải thích quá....:((

8 tháng 10 2019

Câu 2, Do 0<x,y,z<=1 nên ta có:

\(\hept{\begin{cases}\left(x-1\right)\left(y-1\right)\ge0\\\left(y-1\right)\left(z-1\right)\ge0\\\left(z-1\right)\left(x-1\right)\ge0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}xy+1\ge x+y\\yz+1\ge y+z\\xz+1\ge x+z\end{cases}}}\) 

Thay vào VT ta có:

\(VT\le\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+z}+\frac{z}{x+y+z}=1\)(1)

Do x,y,z <= 1 nên x+y+z <=3 nên \(\frac{3}{x+y+z}\ge\frac{3}{3}=1\)(2)

Từ (1),(2) -> dpcm

9 tháng 10 2019

1/ Vai trò của a, b, c là bình đẳng, không mất tính tổng quát, giả sử \(2\ge a\ge b\ge c\ge0\)

Khi đó \(3=a+b+c\le3a\Rightarrow1\le a\le2\Rightarrow\left(a-1\right)\left(a-2\right)\le0\)

Ta có:

\(LHS=a^3+b^3+c^3\le a^3+b^3+c^3+3bc\left(b+c\right)\)

\(=a^3+\left(b+c\right)^3=a^3+\left(3-a\right)^3\)

\(=9a^2-27a+27=9\left(a-1\right)\left(a-2\right)+9\le9\)

Đẳng thức xảy ra khi a = 2; b = 1; c = 0 và các hoán vị.

P/s: Is that true?

31 tháng 12 2021

\(c,P=\dfrac{x^2-x^2+8xy-16y^2}{x^2+4y^2}=\dfrac{8\left(\dfrac{x}{y}\right)-16}{\left(\dfrac{x}{y}\right)^2+4}\)

Đặt \(\dfrac{x}{y}=t\)

\(\Leftrightarrow P=\dfrac{8t-16}{t^2+4}\Leftrightarrow Pt^2+4P=8t-16\\ \Leftrightarrow Pt^2-8t+4P+16=0\)

Với \(P=0\Leftrightarrow t=2\)

Với \(P\ne0\Leftrightarrow\Delta'=16-P\left(4P+16\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow-P^2-4P+4\ge0\Leftrightarrow-2-2\sqrt{2}\le P\le-2+2\sqrt{2}\)

Vậy \(P_{max}=-2+2\sqrt{2}\Leftrightarrow t=\dfrac{4}{P}=\dfrac{4}{-2+2\sqrt{2}}=2+\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x}{y}=2+2\sqrt{2}\)

Bài a hình như sai đề rồi bạn.

undefined

14 tháng 8 2020

ta chứng minh A>=2 (1) thật vậy

\(A\ge2\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2\ge4\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz\ge x^2+y^2+z^2+xyz\)

\(\Leftrightarrow2xy+2yz+2xz\ge xyz\)

từ giả thiết => \(0\le x;y;z\le2\)do đó \(2xy+2yz+2zx\ge2xy\ge xyz\)

vậy (1) được chứng minh. dấu "=" xảy ra khi (x;y;z)=(2;0;0) và các hoán vị