đk: x>=1

\(\Leftrightarrow\sqrt{x-1-4\sqrt{x-1}+4}+\sqrt{x-1+6\sqrt{x-1}+9}=5\Leftrightarrow\sqrt{\left(\sqrt{x-1}-2\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{x-1}+3\right)^2}=5\)

\(\Leftrightarrow\left|\sqrt{x-1}-2\right|+\sqrt{x-1}+3=5\)

th1: x>=5 <=> \(\sqrt{x-1}-2+\sqrt{x-1}+3=5\Leftrightarrow2\sqrt{x-1}=4\Leftrightarrow x=17\)(t/m đk)

th2: x<5 <=> \(2-\sqrt{x-1}+\sqrt{x-1}+3=5\Leftrightarrow5=5\)=> pt có vô số nghiệm

=> x=17 hoặc x<5

( Nhớ tìm ĐK)

Đặt \(\sqrt{x-1}=y\Leftrightarrow x-1=y^2\Leftrightarrow x=y^2+1\)

Thay vào ta có 

 \(\sqrt{y^2+1+3-4y}+\sqrt{y^2+1+8-6y}=5\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(y-2\right)^2}+\sqrt{\left(y-3\right)^2}=5\)

=> l y- 2 l + l y - 3 l = 5 

(+) Với 2 <= y ta có pt

       2-y + 3-y = 5

           5 - 2y  = 5

            => 2y  = 0 => y = 0

    (-) y = 0 => \(\sqrt{x-1}=0\Leftrightarrow x=1\)

(+) Còn 2 trường hợp nua twowg tụ

nhân liên hợp  để trục căn thức ở mẫu

B = \(\frac{\sqrt{2}-\sqrt{1}}{\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}\right)\left(\sqrt{2}+\sqrt{1}\right)}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}+...+\frac{\sqrt{2015}-\sqrt{2014}}{\left(\sqrt{2015}-\sqrt{2014}\left(\sqrt{2014}+\sqrt{2015}\right)\right)}\)

B = \(\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+....\sqrt{2015}-\sqrt{2014}\)  ( Tất cả mẫu đều bằng 1)

B = -1 + căn 2015 

\(x^2+2=x^2+1+1\ge3\sqrt[3]{x^2}\)\(\Rightarrow\left(x^2+2\right)^3\ge\left(3\sqrt[3]{x^2}\right)^3=27x^2\)

\(\Rightarrow A=\frac{x^2}{\left(x^2+2\right)^3}\le\frac{x^2}{27x^2}=\frac{1}{27}\)

Vậy Max A = 1/27 khi \(x^2=1\)

\(VP=3-\left(y^2-2y+1\right)=3-\left(y-1\right)^2\le3\)(Dấu "=" xảy ra khi \(y=1\)

Nhìn đề bài ta đoán dạng bất đẳng thức, có \(VP\le3\), giờ ta chứng minh \(VT\ge3\)

Thật vậy, ta có

 \(\frac{4x^2-4x+7}{x^2+1}-3=\frac{4x^2-4x+7-3\left(x^2+1\right)}{x^2+1}=\frac{x^2-4x+4}{x^2+1}\)

\(=\frac{\left(x-2\right)^2}{x^2+1}\ge0\)

Do đó; \(\frac{4x^2-4x+7}{x^2+1}\ge3\)(dấu "=" xảy ra khi \(x=2\))

\(\Rightarrow\frac{4x^2-4x+7}{x^2+1}\ge3\ge2+2y-y^2\)

\(VT=VP\Leftrightarrow VT=3;VP=3\)

\(\Leftrightarrow x=3;y=1\)

a) tự làm nha

b xét tích ac ta có: \(-m^2+m-1=-\left(m^2-m+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}\right)=-\left[\left(m-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\right]\)

ta có: \(\left(m-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\Leftrightarrow\left(m-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0\Rightarrow-\left[\left(m-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\right]

Ta có: \(\frac{a}{1+b^2}=\frac{a\left(1+b^2\right)-ab^2}{1+b^2}=a-\frac{ab}{1+b^2}\)

\(1+b^2\ge2b\) \(\Rightarrow\frac{ab^2}{1+b^2}\le\frac{ab^2}{2b}=\frac{ab}{2}\)\(\Rightarrow-\frac{ab^2}{1+b^2}\ge-\frac{ab}{2}\)

Do đó: \(\frac{a}{1+b^2}=a-\frac{ab^2}{1+b^2}\ge a-\frac{ab}{2}\)

Tương tự: \(\frac{b}{1+c^2}\ge b-\frac{bc}{2}\);  \(\frac{c}{1+a^2}\ge c-\frac{ca}{2}\)

Suy ra \(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}+\frac{ab+bc+ca}{2}\ge a+b+c\)

Mặt khác ta có: \(3\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\Rightarrow\frac{3}{a+b+c}\le1\)

\(\Rightarrow a+b+c\ge3\)

Do đó; \(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}+\frac{ab+bc+ca}{2}\ge a+b+c\ge3\)(đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=1\)