\(k^2=\left(m+1\right)\left(m^2+2m\right)\) là số chính phương

\(\Rightarrow k^2=m\left(m+1\right)\left(m+2\right)\ge0\)

Lập bảng xét dấu

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}-2\le m\le0\\m>0\end{matrix}\right.\)

\(TH1:\) \(-2\le m\le0\Rightarrow m\in\left\{-2;-1;0\right\}\) thỏa mãn \(k^2=0\ge0\)

\(TH2:\) \(m>0\)

\(k^2=\left(m+1\right)\left(m^2+2m\right)\)

\(d=UC\left(m+1;m^2+2m\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m+1⋮d\\m^2+2m⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow m^2+2m-2\left(m+1\right)⋮d\)

\(\Rightarrow m^2+2m-2m-1⋮d\)

\(\Rightarrow-1⋮d\)

\(\Rightarrow d\in\left\{-1;1\right\}\)

\(\Rightarrow\left(m+1\right)\left(m^2+2m\right)\) là số chính phương khi chúng là số chính phương.

Ta lại có :

\(\left(m+1\right)\left(m^2+2m\right)=m\left(m+1\right)\left(m+2\right)\) là tích của 3 số liên tiếp nhau không phải là số chính phương khi m>0

Vậy \(m\in\left\{-2;-1;0\right\}\) thỏa mãn đề bài

Lời giải:
Xét tỉ số:

\(\frac{100!}{2^{300}}=\frac{100!}{8^{100}}=\frac{1}{8}.\frac{2}{8}.\frac{3}{8}.....\frac{99}{8}.\frac{100}{8}\)

\(=(\frac{1}{8}.\frac{64}{8})(\frac{2}{8}.\frac{32}{8})(\frac{3}{8}.\frac{22}{8})(\frac{4}{8}.\frac{16}{8})(\frac{5}{8}.\frac{13}{8})(\frac{6}{8}.\frac{11}{8})(\frac{7}{8}.\frac{10}{8}).\frac{8}{8}.\frac{9}{8}.\frac{12}{8}.\frac{14}{8}.\frac{15}{8}.\frac{17}{8}....\frac{31}{8}.\frac{33}{8}...\frac{65}{8}...\frac{100}{8}\)

\(>1.1....1=1\)

$\Rightarrow 100!> 2^{300}$

Chuồng thứ 2 đẻ số quả trứng là:

\(535\times2=1070\left(quả.trứng\right)\)

Cả 2 chuồng có số quả trứng là:

\(535+1070=1605\left(quả.trứng\right)\)

Chuồng thứ 2 gà đẻ số quả trứng là:

          535.2=1070(quả)

Cả hai chuồng gà đẻ được số quả trứng là:

            535+1070=1605(quả)

Vậy cả 2 chuồng gà đẻ được 1605 quả trứng

Nhà Nam còn số con gà là:

\(1520-532=988\left(con.gà\right)\)

Vậy nhà Nam có \(988\) con gà.

Nhà Nam còn số con gà 

$1520-532=988\left(congà\stackrel{ˋ}{}\right)$

Vậy nhà Nam còn lại $988$ con gà.

Đề bài là gì vậy bạn?

Lời giải:
$\frac{2}{7}x+\frac{1}{5}=\frac{1}{3}+\frac{7}{2}$

$\frac{2}{7}x+\frac{1}{5}=\frac{23}{6}$

$\frac{2}{7}x=\frac{23}{6}-\frac{1}{5}$

$\frac{2}{7}x=\frac{109}{30}$

$x=\frac{109}{30}: \frac{2}{7}=\frac{763}{60}$

Lời giải:
$\frac{1}{2}x+\frac{1}{5}=\frac{1}{3}+\frac{7}{2}$

$\frac{1}{2}x+\frac{1}{5}=\frac{23}{6}$

$\frac{1}{2}x=\frac{23}{6}-\frac{1}{5}=\frac{109}{30}$

$x=\frac{109}{30}: \frac{1}{2}=\frac{109}{15}$

2⁵ = 2².2³ < 2².3² = 6² = 2².3² < 3².3² < 3⁵

Vậy 2⁵ < 6² < 3⁵ (đpcm)