1. \(=\sqrt{5-\sqrt{\left(2\sqrt{3}+1\right)^2}}+\sqrt{3+\sqrt{\left(2\sqrt{3}+1\right)^2}}=\sqrt{5-2\sqrt{3}-1}+\sqrt{3+2\sqrt{3}+1}=\sqrt{4-2\sqrt{3}}+\sqrt{4+2\sqrt{3}}=\sqrt{3}-1+\sqrt{3}+1=2\sqrt{3}\)

1/ \(\sqrt{5-\sqrt{13+4\sqrt{3}}}+\sqrt{3+\sqrt{13+4\sqrt{3}}}\)

\(=\sqrt{5-\left(1+\sqrt{12}\right)^2}+\sqrt{3+\left(1+\sqrt{12}\right)^2}\)

\(=\sqrt{5-\left|1+\sqrt{12}\right|}+\sqrt{3+\left|1+\sqrt{12}\right|}\)

\(=\sqrt{5-1-\sqrt{12}}+\sqrt{3+1+\sqrt{12}}\)

\(=\sqrt{4-\sqrt{12}}+\sqrt{4+\sqrt{12}}\)

\(=\sqrt{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^2}\)

\(=\left|\sqrt{3}-1\right|+\left|\sqrt{3}+1\right|\)

\(=\sqrt{3}-1+\sqrt{3}+1=2\sqrt{3}\)

2¹⁹⁷⁵=2¹⁹⁷⁴.2=(2²)⁹⁸⁷.2=4⁹⁸⁷.2

4 đồng dư với 1(mod 3)

=>4⁹⁸⁷ đồng dư với 1(mod 3)

2 đồng dư với 2(mod 3)

=>2¹⁹⁸⁵ đồng dư với 2.1=2(mod 3)

5 đồng dư với 2(mod 3)

=>5²⁰¹⁰ đồng dư với 2²⁰¹⁰(mod 3)

2²⁰¹⁰=(2²)¹⁰⁰⁵=4¹⁰⁰⁵

4 đồng dư với 1(mod 3)

=>4²⁰¹⁰ đồng dư với 1(mod 3)

=>5²⁰¹⁰ đồng dư với 1(mod 3)

=>2¹⁹⁷⁵ + 5²⁰¹⁰ đồng dư với 3(mod 3)

=>2¹⁹⁷⁵ + 5²⁰¹⁰ chia hết cho 3

=>đpcm

\(\text{Đề }\Rightarrow\left(x-\sqrt{x^2+3}\right)\left(x+\sqrt{x^2+3}\right)\left(y+\sqrt{y^2+3}\right)=3\left(x-\sqrt{x^3+3}\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-x^2+3\right)\left(y+\sqrt{y^2+3}\right)=3\left(x-\sqrt{x^2+3}\right)\)

\(\Leftrightarrow y+\sqrt{y^2+3}=-x+\sqrt{x^2+3}\)

Làm tương tự, ta được: \(x+\sqrt{x^2+3}=-y+\sqrt{y^2+3}\)

Cộng theo vế 2 pt trên, ta được \(x+y=-x-y\Leftrightarrow x+y=0\)

ổng đi Singapore r , bn qua đó chửi đi

3. ĐK: \(x^2-2x-1\ge0\Leftrightarrow x\le1-\sqrt{2}\text{ hoặc }x\ge1+\sqrt{2}\)

\(pt\Leftrightarrow\sqrt[3]{x^3-14}-\left(x-2\right)+2\sqrt{x^2-2x-1}=0\)

Ta sẽ chứng minh phương trình này có \(VT\ge VP\)

\(VT\ge\frac{x^3-14-\left(x-2\right)^3}{A^2+AB+B^2}+0\text{ }\left(A=\sqrt[3]{x^3-14};\text{ }B=x-2\right)\)

\(=\frac{6\left(x^2-2x-1\right)}{\left(A+\frac{B}{2}\right)^2+\frac{3B^2}{4}}\ge0=VP\text{ }\left(do\text{ }x^2-2x-1\ge0\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x^2-2x-1=0\Leftrightarrow x=1+\sqrt{2}\text{ hoặc }x=1-\sqrt{2}\)

\(\text{Kết luận: }x\in\left\{1+\sqrt{2};\text{ }1-\sqrt{2}\right\}\)