{1+a}{1+b}+{1+b}{1+c}+{1+c}{1+a}

=1+a+b+ab+1+b+c+bc +1+c+a+ca

=1+1+1+{a+b+c}+{a+b+c} +ab+bc+ca

=5+ab+bc+ca 

vìab+bc+ca >0 =>5+ab+bc+ca >5

lik-e cho minh nha

Đăng mấy bài này trên đây khó nhận được đáp án lắm! Nên đăng trên một số diễn đàn nhiều pro như:

Diễn đàn Toán học

Diễn Đàn MathScope

.......

Bài 1.

+TH1: Đa thức có bậc là 0

\(f\left(x\right)=a\text{ }\left(a\in R\right)\forall x\in R\)

Theo đề ra: \(16a^2=a^2\Rightarrow a=0\)

Vậy \(f\left(x\right)=0\forall x\in R\)

+TH2: Đa thức có bậc lớn hơn hoặc bằng 1.

Giả sử đa thức có bậc n.

Gọi hệ số cao nhất của đa thức là \(a_n\text{ }\left(a_n\ne0\right)\)

Từ giả thiết, suy ra: \(16a_n^2=\left(2a_n\right)^2\Leftrightarrow16a_n^2=4a_n^2\Leftrightarrow a_n=0\text{ (vô lí)}\)

Vậy điều giả sử sai, hay không có đa thức nào thỏa mãn.

Vậy chỉ có \(f\left(x\right)=0\forall x\in R\) thỏa mãn để bài.

\(\left(a+b\right)^3=a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)\)

Với \(a=\sqrt[3]{\frac{x^3-3x+\left(x^2-1\right)\sqrt{x^2-4}}{2}};\text{ }b=\sqrt[3]{\frac{x^3-3x-\left(x^2-1\right)\sqrt{x^2-4}}{2}}\) \(\left(x^2\ge4\right)\)

Thì \(a^3+b^3=x^3-3x\)'

\(a.b=\sqrt[3]{\frac{\left(x^3-3x\right)^2-\left(x^2-1\right)^2\left(x^2-4\right)}{4}}=\sqrt[3]{\frac{4}{4}}=1\)

Suy ra: \(B^3=x^3-3x+3.\left(a+b\right)\)

+Xét trường hợp \(a+b=0\Leftrightarrow\sqrt[3]{\frac{x^3-3x+\left(x^2-1\right)\sqrt{x^2-4}}{2}}=-\sqrt[3]{\frac{x^3-3x-\left(x^2-1\right)\sqrt{x^2-4}}{2}}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^3-3x+\left(x^2-1\right)\sqrt{x^2-4}}{2}=-\frac{x^3-3x-\left(x^2-1\right)\sqrt{x^2-4}}{2}\)

\(\Leftrightarrow x^3-3x=0\Leftrightarrow x\left(x^2-3\right)=0\text{ (vô nghiệm }\text{do }x^2\ge4\text{)}\)

+Vậy \(a+b\ne0\text{ }\forall x^2\ge4\), thay \(a+b=B\), ta được:

 \(B^3=x^3-3x+3B\)

\(\Leftrightarrow B^3-x^3-3\left(B-x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(B-x\right)\left(B^2+x^2+Bx-3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow B=x\text{ hoặc }\left(B+\frac{x}{2}\right)^2+\frac{3x^2}{4}-3=0\text{ (1)}\)

Mà \(x^2\ge4\text{ nên }\frac{3x^2}{4}\ge3\Rightarrow\left(B+\frac{x}{2}\right)^2+\frac{3x^2}{4}-3\ge0\)

Lại có: \(x=2\text{ thì }B=\sqrt[3]{\frac{2^3-3.2}{2}}+\sqrt[3]{\frac{2^3-3.2}{2}}=2\)

\(x=-2\text{ thì }B=\sqrt[3]{\frac{\left(-2\right)^3-3.\left(-2\right)}{2}}+\sqrt[3]{\frac{\left(-2\right)^3-3.\left(-2\right)}{2}}=-2\)

Nên \(B+\frac{x}{2}=0\text{ và }x^2=4\text{ không đồng thời xảy ra, hay }\left(B+\frac{x}{2}\right)^2+\frac{3x^2}{4}-3>0\)

Vậy (1) vô nghiệm.

Do đó \(B=x\)

Vậy \(B=x\text{ }\forall x^2\ge4\)

\(\left(a-b\right)^3=a^3-b^3-3ab\left(a-b\right)\)

\(x^3=\sqrt{2}-1-\frac{1}{\sqrt{2}-1}-3.\frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}-1}}{\sqrt[3]{\sqrt{2}-1}}\left(\sqrt[3]{\sqrt{2}-1}-\frac{1}{\sqrt[3]{\sqrt{2}-1}}\right)\)

\(=-2-3x\)

\(\Rightarrow x^3+3x+2=0\)