Điều kiện xác định \(x,y\ge1.\)

Theo bất đẳng thức Cô-Si cho hai số không âm, ta có:   \(4\sqrt{y-1}\le y-1+4=y+3\to4x\sqrt{y-1}\le x\left(y+3\right).\)  Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(\sqrt{y-1}=2\leftrightarrow y=5.\)

Tương tự,  \(\sqrt{x-1}\le\frac{x-1+1}{2}=\frac{x}{2}\to4y\sqrt{x-1}\le2xy.\) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(\sqrt{x-1}=1\leftrightarrow x=2.\)

Cộng hai bất đẳng thức lại cho ta

\(4x\sqrt{y-1}+4y\sqrt{x-1}\le2xy+x\left(y+3\right)=3x\left(y+1\right).\)  Thành thử nếu \(x,y\)  là nghiệm phương trình thì các dấu bằng khi áp dụng bất đẳng thức Cô-Si phải xảy ra. Suy ra \(x=2,y=5.\)
 

Vì   \(\sin\alpha,\cos\alpha\)  là các số dương bé hơn \(1\)   nên ta có

\(\sin^5\alpha+\cos\alpha

1)))))))

\(\frac{2}{\sqrt{ab}}:\left(\frac{1}{\sqrt{a}}-\frac{1}{\sqrt{b}}\right)^2-\frac{a+b}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}\)

\(=\frac{2}{\sqrt{ab}}:\frac{\left(\sqrt{b}-\sqrt{a}\right)^2}{\left(\sqrt{ab}\right)^2}-\frac{a+b}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}\)

\(=\frac{2}{\sqrt{ab}}.\frac{\left(\sqrt{ab}\right)^2}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}-\frac{a+b}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}\)

\(=\frac{2\sqrt{ab}}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}-\frac{a+b}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}\)

\(=\frac{2\sqrt{ab}-a-b}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}\)

\(=\frac{-\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}=-1\)

\(\text{VT}=\left(1+\frac{x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\right)\left(1-\frac{x-\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}\right)=\left(1+\frac{\sqrt{x}.\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}+1}\right)\left(1-\frac{\sqrt{x}.\left(\sqrt{x}-1\right)}{\sqrt{x}-1}\right)\)

\(=\left(1+\sqrt{x}\right)\left(1-\sqrt{x}\right)=1-x=\text{VP(điều phải chứng minh)}\)