áp dung bất đẳng thức cô si ta có:

\(\frac{a+b}{2}=\frac{a}{2}+\frac{b}{2}\ge2\sqrt{\frac{a}{2}.\frac{b}{2}}=2\sqrt{\frac{a.b}{4}}=2.\frac{\sqrt{a.b}}{2}=\sqrt{a.b}\)

Vậy \(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{a.b}\)

(a-b)²>=0 voi moi a,b

=>a²+b²>=2ab voi moi a,b

=>a²+2ab+b²>=4ab voi moi a,b

=>(a+b)²>=2.(can ab) voi moi a,b>=0

=>a+b/2>=(can ab) voi moi a,b>=0

mình nghĩ là ít hơn nữa nồi

nếu đúng thì **** nha

nưnng nồi => lưng nồi => nửa nồi

Sau đây là lời giải các bài toán

a)  Đặt \(a=\sqrt[3]{x+1},b=\sqrt[3]{x-1}\)    thì \(a+b=\sqrt[3]{5x}\). Lập phương hai vế cho ta 

\(5x=\left(a+b\right)^3=a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)=2x+3\sqrt[3]{x^2-1}\cdot\sqrt[3]{5x}\)

\(\Rightarrow x=\sqrt[3]{5x\left(x^2-1\right)}\Leftrightarrow x^3=5x\left(x^2-1\right)\Leftrightarrow x=0\)  hoặc \(x^2=5\left(x^2-1\right)\).

Từ đây ta được nghiệm \(x=0,\frac{\pm\sqrt{5}}{2}\). 

b)  Đặt \(a=\sqrt[3]{x-7},b=\sqrt[3]{x-3}\)  thì \(a+b=6\sqrt{ab}\). Điều kiện \(ab\ge0.\) Ta chia ra hai trường hợp

 Trường hợp 1.  Nếu \(x\ge7\)  thì \(a,b\ge0\).  Chia

cả hai vế cho b, ta được \(\frac{a}{b}=3\pm2\sqrt{2}\) suy ra  \(\frac{\sqrt[3]{x-7}}{\sqrt[3]{x-3}}=3-2\sqrt{2}\)  (Nghiệm \(3+2\sqrt{2}>1>\frac{a}{b}\)).  Từ đó ta được \(x-7=\left(3-2\sqrt{2}\right)^2\left(x-3\right)\Leftrightarrow x-7=\left(17-12\sqrt{2}\right)\left(x-3\right)\Leftrightarrow x=\frac{11-9\sqrt{2}}{4-3\sqrt{2}}.\) (thỏa mãn)

Trường hợp 2. Nếu \(x\le3\)  thì \(a,b\le0.\) Chia cả hai vế cho b ta được \(\frac{a}{b}=-3\pm2\sqrt{2}\). Từ đó loại nghiệm vì a/b dương. 

Do đó phương trình có nghiệm duy nhất  \(x=\frac{11-9\sqrt{2}}{4-3\sqrt{2}}.\)

c) Điều kiện phương trình có nghĩa \(\frac{x}{2x-1}\ge0,x\ne\frac{1}{2},0\)

Đặt \(t=\sqrt{\frac{x}{2x-1}}\Rightarrow\frac{1}{t}=\sqrt{\frac{2x-1}{x}}\). Thành thử ta được \(t+\frac{1}{t}=2\Leftrightarrow t=1\Leftrightarrow x=2x-1\Leftrightarrow x=1\)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất.

\(\sqrt{x+2+3\sqrt{2x-5}}+\sqrt{x-2-\sqrt{2x-5}}=2\sqrt{2}\)

=> \(\sqrt{2}.\sqrt{x+2+3\sqrt{2x-5}}+\sqrt{2}.\sqrt{x-2-\sqrt{2x-5}}=4\)

=> \(\sqrt{2x+4+6\sqrt{2x-5}}+\sqrt{2x-4-2\sqrt{2x-5}}=4\)

=>   \(\sqrt{\left(\sqrt{2x-5}\right)^2+2\sqrt{2x-5}.3+3^2}+\sqrt{\left(\sqrt{2x-5}\right)^2-2\sqrt{2x-5}.1+1}=4\)

=> \(\sqrt{\left(\sqrt{2x-5}+3\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{2x-5}-1\right)^2}=4\)

Vậy điều kiên của phương trình là : 2x - 5 \(\ge\) 0 <=> x \(\ge\) 5/2. Khi đó, PT đã cho tương đương với

\(\left|\sqrt{2x-5}+3\right|+\left|\sqrt{2x-5}-1\right|=4\)

<=> \(\sqrt{2x-5}+3+\left|\sqrt{2x-5}-1\right|=4\)

+) Nếu \(\sqrt{2x-5}-1\ge0\Leftrightarrow2x-5\ge1\Leftrightarrow x\ge3\) thì phương tringf trở thành

\(\sqrt{2x-5}+3+\sqrt{2x-5}-1=4\)

<=> \(\sqrt{2x-5}=2\) <=> 2x - 5 = 4 <=> x = 4,5 ( Thỏa mãn)

+) Nếu \(0\le\sqrt{2x-5}

Cho 3 **** kiểu gì nào?

a) a,b có thể là số vô tỉ. Ví dụ \(a=b=\sqrt{2}\) là vô tỉ mà ab và a/b đều hữu tỉ.

b) Trong trường hợp này \(a,b\) không là số vô tỉ (tức cả a,b đều là số hữu tỉ). Thực vậy theo giả thiết  \(a=bt\),  với \(t\) là số hữu tỉ khác \(-1\). Khi đó \(a+b=b\left(1+t\right)=s\) là số hữu tỉ, suy ra \(b=\frac{s}{1+t}\) là số hữu tỉ. Vì vậy \(a=bt\)  cũng hữu tỉ.

c) Trong trường hợp này \(a,b\)  có thể kaf số vô tỉ. Ví dụ ta lấy \(a=1-\sqrt{3},b=3+\sqrt{3}\to a,b\) vô tỉ nhưng \(a+b=4\)  là số hữu tỉ và \(a^2b^2=\left(ab\right)^2=12\)  cũng là số hữu tỉ.