cách 1:

áp dung bất đẳng thức Cô-si ta có:

\(\frac{a}{2}+\frac{b}{2}\ge2\sqrt{\frac{a}{2}.\frac{b}{2}}=\sqrt{a.b}\)(1)

\(\frac{b}{2}+\frac{c}{2}\ge2\sqrt{\frac{b}{2}.\frac{c}{2}}=\sqrt{b.c}\)(2)

\(\frac{c}{2}+\frac{a}{2}\ge2\sqrt{\frac{c}{2}.\frac{a}{2}}=\sqrt{c.a}\)(3)

cộng 2 vế (1);(2) và (3) ta được:

\(\frac{a}{2}+\frac{b}{2}+\frac{b}{2}+\frac{c}{2}+\frac{c}{2}+\frac{a}{2}\ge\sqrt{a.b}+\sqrt{b.c}+\sqrt{c.a}\)

\(\Leftrightarrow a+b+c\ge\sqrt{a.b}+\sqrt{b.c}+\sqrt{c.a}\)(điều phải chứng minh)

Lần sau em viết đề cẩn thận hơn nhé, dấu lớn hơn đúng ra phải là lớn hơn hoặc bằng và không có ẩn d.

Bài này sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwartz thôi (Nếu bạn chưa quen, thì xem lại phát biểu và chứng minh ở đây: http://olm.vn/hoi-dap/question/174274.html ).

Ta có \(\frac{a^2}{a^2+2bc}+\frac{b^2}{b^2+2ca}+\frac{c^2}{c^2+2ab}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a^2+2bc\right)+\left(b^2+2ca\right)+\left(c^2+2ab\right)}=1.\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c.\)

Post bài ẩu quá, hai số phải dương chứ nhỉ?

Theo bất đẳng thức Cauchy ta có \(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=2\to2x^2y^2=x^2+y^2\ge2xy\to xy\ge1\to x+y\ge2\sqrt{xy}\ge1.\)

Không mất tính tổng quát, giả sử \(x\ge y\ge z.\) Suy ra \(z^3+3z^2\le20\to3z^2

ko hiểu thầy ơi

áp dụng bđt thức cosi: \(\left(\sqrt{b}-1\right)\times1\le\frac{b}{4}\)

Những ai thông minh chắc đến đây là hiểu

bất công quá----lm mà ko ai li-ke cho dù chỉ 1 cái? đồ kẹt xỉ

\(\frac{sin^2\alpha}{cos\alpha.\left(1+\frac{sin\alpha}{cos\alpha}\right)}-\frac{cos^2\alpha}{sin\alpha.\left(1+\frac{cos\alpha}{sin\alpha}\right)}=\frac{sin^2\alpha}{cos\alpha+sin\alpha}-\frac{cos^2\alpha}{sin\alpha+cos\alpha}=\frac{\left(sin\alpha+cos\alpha\right).\left(sin\alpha-cos\alpha\right)}{sin\alpha+cos\alpha}=sin\alpha-cos\alpha\)

không có số tự nhiên lớn nhất vì khi ta tìm được 1 số lấy số đó cộng 1 thì được số lớn hơn

Không có số tự nhiên lớn nhất(à mà bạn làm ơn đi ,li-ke mình cái chứ mình trả lời đầu tiên rồi lại xuống ót nữa cho coi,còn mất công làm nữa chứ

Bài này không đơn giản biến đổi tương đương được đâu em.

Theo giả thiết \(2015=a+b+c\to2015a+bc=a\left(a+b+c\right)+bc=\left(a+b\right)\left(a+c\right).\)

Theo bất đẳng thức Bunhiacốpxki:   \(2015a+bc=\left(a+b\right)\left(c+a\right)\ge\left(\sqrt{ac}+\sqrt{bc}\right)^2.\) 

Vì vậy mà \(\frac{a}{a+\sqrt{2015a+bc}}\le\frac{a}{a+\sqrt{ab}+\sqrt{ac}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}.\)

Tương tự ta có \(\frac{b}{b+\sqrt{2015b+ca}}\le\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}},\)  và  \(\frac{c}{c+\sqrt{2015c+ab}}\le\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}.\)  Cộng cả ba bất đẳng thức lại ta được ngay điều phải chứng minh.