Áp dụng BBĐT thức bu nhi a cốp x ki :  \(\left(a1b1+a2b2+...+anbn\right)^2\le\left(a1^2+a2^2+...+an^2\right)\left(b1^2+b2^2+...+bn^2\right)\)

 ( 1 ; 2 ; ... ; n là chỉ số )

 với \(a1=a2=...=an=1\)

; \(b1=\sqrt{1};...bn=\sqrt{n}\)

Ta có : 

\(\left(\sqrt{1}+\sqrt{2}+...+\sqrt{n}\right)^2\le\left(1+1+...+1\right)\left(1+2+3+..+n\right)=\frac{n.n\left(n+1\right)}{2}=\frac{n^2\left(n+1\right)}{2}\)

 ( có n số 1 ) 

=> \(\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+...+\sqrt{n}\le\sqrt{\frac{n^2\left(n+1\right)}{2}}=n\sqrt{\frac{n+1}{2}}\)

Bài này thầy đã giải ở đây rồi em nhé:   http://olm.vn/hoi-dap/question/176263.html

\(\Leftrightarrow2-3x\le1\Leftrightarrow3x\ge1\Leftrightarrow x\ge\frac{1}{3}\)

Ta có \(1+a^2=ab+bc+ca+a^2=\left(a+b\right)\left(a+c\right).\)  Chứng minh tương tự ta cũng có

\(1+b^2=\left(b+c\right)\left(b+a\right),1+c^2=\left(c+a\right)\left(c+b\right).\)

Suy ra \(\sqrt{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+c^2\right)}=\sqrt{\left(a+b\right)^2\left(b+c\right)^2\left(c+a\right)^2}=\left|\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\right|\)  là một số hữu tỉ. (ĐCPM)

Bài toán này sai đề. Ví dụ chọn \(a-c=b=2,c=1\) thì vế trái bằng \(\sqrt{6}+1\), vế phải là \(\sqrt{6}\).

thế này hả \(\sqrt{1-2x^2}\)