TH1: Số % lãi được: 

5000 : 25000% = 20 %

TH2: Số % lãi được: 

5000 : 75000% = 20/3 %

Vì 20% > 20/3% nên trường hợp 1 có lại nhiều hơn

tk nha 

Ta có:

Toán + Lý: xg việc trong 12/7h => Mỗi giờ họ làm được 7/12 công việc

Toán + Hóa: xg việc trong 20/9h => Mỗi giờ họ làm được 9/20 công việc

Lý + Hóa: xg việc trong 15/8h => Mỗi giờ họ làm được 8/15 công việc

=> 2 công Toán + 2 công Lý + 2 công Hóa mỗi giờ làm được 47/30 công việc

=> Toán + Lý + Hóa mỗi giờ làm được 47/60 công việc

=> Hóa làm trong 1h được: 47/60 - 7/12 = 1/5 công việc <=> Hóa làm xong công việc trong: 1: 1/5 = 5h

=> Lý làm trong 1h được: 47/60 - 9/20 = 1/3 công việc <=> Lý làm xong công việc trong: 1: 1/3 = 3h

=> Toán làm trong 1h được: 47/60 - 8/15 = 1/4 công việc <=> Toán làm xong công việc trong: 1: 1/4 = 4h

CHÚC PẠN HC GIỎI

**** mik nha

kẹp đi :v

nói chuyện kỳ v

bn là ai kết bn đi 

đại gia hoàng tử nx ms chịu 

Dự đoán \(x=y=z=1\) ta tính được \(A=6+3\sqrt{2}\)

Ta sẽ c/m nó là GTLN của A

Thật vậy, ta cần chứng minh \(Σ\left(2+\sqrt{2}-2\sqrt{x}-\sqrt{1+x^2}\right)\ge0\)

\(\LeftrightarrowΣ\left(\frac{2\left(1-x\right)}{1+\sqrt{x}}+\frac{1-x^2}{\sqrt{2}+\sqrt{1+x^2}}\right)\ge0\)

\(\LeftrightarrowΣ\left(x-1\right)\left(1+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{2}{1+\sqrt{x}}-\frac{x+1}{\sqrt{2}+\sqrt{1+x^2}}\right)+\left(1+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\left(3-x-y-z\right)\ge0\)

\(\LeftrightarrowΣ\left(x-1\right)^2\left(\frac{1}{\left(1+\sqrt{x}\right)^2}-\frac{x+1}{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}+\sqrt{1+x^2}\right)\left(\sqrt{2}x+\sqrt{1+x^2}\right)}\right)+\left(1+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\left(3-x-y-z\right)\ge0\)

BĐT cuối đủ để chứng minh 

\(\sqrt{2}\left(\sqrt{2}+\sqrt{1+x^2}\right)\left(\sqrt{2}x+\sqrt{1+x^2}\right)\ge\left(x+1\right)\left(1+\sqrt{x}\right)^2\)

Đặt \(1+x=2k\sqrt{x}\). Hence, theo Cauchy-Schwarz:

\(\sqrt{2}\left(\sqrt{2}+\sqrt{1+x^2}\right)\left(\sqrt{2}x+\sqrt{1+x^2}\right)\)

\(=\sqrt{2}\left(\sqrt{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{2\left(1+x^2\right)}\right)\left(\sqrt{2}x+\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{2\left(1+x^2\right)}\right)\)

\(\ge\sqrt{2}\left(\sqrt{2}+\frac{x+1}{\sqrt{2}}\right)\left(\sqrt{2}x+\frac{x+1}{\sqrt{2}}\right)\)

\(=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(x+3\right)\left(3x+1\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(3x^2+10x+3\right)\)

\(=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(3\left(4k^2-2\right)x+10x\right)2\sqrt{2}x\left(3k^2+1\right)\)

Mặt khác \(\left(x+1\right)\left(1+\sqrt{x}\right)^2=\left(x+1\right)\left(x+1+2\sqrt{x}\right)\)

\(=2k\left(2k+2\right)x=4k\left(k+1\right)x\). Có nghĩa là ta cần phải c/m

\(3k^2+1\ge\sqrt{2}k\left(k+1\right)\Leftrightarrow\left(3-\sqrt{2}\right)k^2-2\sqrt{k}+1\ge0\)

Nó đúng theo AM-GM

\(\left(3-\sqrt{2}\right)k^2-\sqrt{2}k+1\ge\left(2\sqrt{3-\sqrt{2}}-\sqrt{2}\right)k\ge0\)

Hơi đẹp nhỉ nhưng xong r` đó :D

bunyakovsky:

\(\left(\sqrt{1+x^2}+\sqrt{2x}\right)^2\le2\left(x+1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{1+x^2}+\sqrt{2}.\sqrt{x}\le\sqrt{2}\left(x+1\right)\) 

tương tự :phần còn lại + thêm với\(\left(2-\sqrt{2}\right)\left(x+y+z\right)\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\frac{1}{a^2\left(b+c\right)}+\frac{b+c}{4}\ge2\sqrt{\frac{1}{a^2\left(b+c\right)}\cdot\frac{b+c}{4}}=2\cdot\frac{1}{2a}=\frac{1}{a}\)

Tuong tu cho 2 BDT con lai ta cung co

\(\frac{1}{b^2\left(a+c\right)}+\frac{a+c}{4}\ge\frac{1}{b};\frac{1}{c^2\left(a+b\right)}+\frac{a+b}{4}\ge\frac{1}{c}\)

Cong theo ve cac BDT tren ta co

\(VT+\frac{2\left(a+b+c\right)}{4}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

\(\Rightarrow VT+\frac{a+b+c}{2}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}=3\left(abc=1\right)\)

\(\Rightarrow VT+\frac{3\sqrt[3]{abc}}{2}\ge3\Rightarrow VT+\frac{3}{2}\ge3\Rightarrow VT\ge\frac{3}{2}\)

Dang thuc xay ra khi \(a=b=c=1\)

Sửa đề: Cho \(a,b,c>0\) và \(abc=1\). Chứng minh \(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge a+b+c\)

Cách 1: Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=\frac{a^2c+b^2a+c^2b}{abc}\ge\frac{\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{a+b+c}}{abc}\ge a+b+c\)

Cách 2: Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\frac{2a}{b}+\frac{b}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{a^2}{bc}}\ge3a\)

Tương tự ta cũng có \(\frac{2b}{c}+\frac{c}{a}\ge3b;\frac{2c}{a}+\frac{a}{b}\ge3c\)

Cộng theo vế và rút gọn ta có ĐPCM

Cách 3: Đặt \(x=\sqrt[9]{\frac{ab^4}{c^2}};y=\sqrt[9]{\frac{ca^4}{b^2}};z=\sqrt[9]{\frac{bc^4}{a^2}}\)

\(\Rightarrow a=xy^2;b=xz^2;c=yz^2\forall xyz\le1\)

Áp dụng BĐT Rearrangement ta có:

\(Σ\frac{a}{b}=Σ\frac{x^2}{yz}\ge xyzΣ\frac{x^2}{yz}=Σx^3\geΣxy^2=Σa\)