\(\left(a+b+c\right)^3-a^3-b^3-c^3\)

\(=\left[\left(a+b\right)+c\right]^3-a^3-b^3-c^3\)

\(=\left(a+b\right)^3+c^3+3c\left(a+b\right)\left(a+b+c\right)-a^3-b^3-c^3\)

\(=a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)+c^3+3c\left(a+b\right)\left(a+b+c\right)-a^3-b^3-c^3\)

\(=3ab\left(a+b\right)+3c\left(a+b\right)\left(a+b+c\right)\)

\(=3\left(a+b\right)\left[ab+c\left(a+b+c\right)\right]\)

\(=3\left(a+b\right)\left(ab+ac+bc+c^2\right)\)

\(=3\left(a+b\right)\left[a\left(b+c\right)+c\left(b+c\right)\right]\)

\(=3\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)\left(đpcm\right)\)

Theo bài ra ta có:

\(\left(a+b+c\right)^3-a^3-b^3-c^3=3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^3=a^3+b^3+c^3+3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)

$(a+b+c{)}^3=((a+b)+c{)}^3=(a+b{)}^3+c^3+3(a+b\left)c\right(a+b+c)$
$=a^3+b^3+3ab(a+b)+c^3+3(a+b)c(a+b+c)$
$=a^3+b^3+c^3+3(a+b)(ab+c(a+b+c\left)\right)$
$=a^3+b^3+c^3+3(a+b)(ab+ac+bc+c^2)$
$=a^3+b^3+c^3+3(a+b)(a+c)(b+c)$

1/

a,\(A=x-x^2=-x^2+x=-\left(x^2-x+\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{4}=-\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}\)

Vì \(-\left(x-\frac{1}{2}\right)^2\le0\Rightarrow A=-\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}\le\frac{1}{4}\)

Dấu "=" xảy ra <=>x=1/2

Vậy Amax=1/4 khi x=1/2

b, \(B=2x-2x^2-5=-2x^2+2x-5\)

\(\Rightarrow2B=-4x^2+4x-10=-\left(4x^2-4x+1\right)-9=-\left(2x-1\right)^2-9\)

Vì \(-\left(2x-1\right)^2\le0\Rightarrow2B=-\left(2x-1\right)^2-9\le-9\Rightarrow B\le\frac{-9}{2}\)

Dấu "=" xảy ra <=>x=1/2

Vậy Bmax=-9/2 khi x=1/2

2/

\(3\left(2^2+1\right)\left(2^4+1\right)\left(2^8+1\right)\left(2^{16}+1\right)=\left(2^2-1\right)\left(2^2+1\right)\left(2^4+1\right)\left(2^8+1\right)\left(2^{16}+1\right)\)

\(=\left(2^4-1\right)\left(2^4+1\right)\left(2^8+1\right)\left(2^{16}+1\right)=\left(2^8-1\right)\left(2^8+1\right)\left(2^{16}+1\right)\)

\(=\left(2^{16}-1\right)\left(2^{16}+1\right)=2^{32}-1\)

Hazz suy nghĩ nãy h ko được cách nào -_- làm tạm đi 

* Nếu x và y chẵn : 

\(\Rightarrow\)\(\hept{\begin{cases}x=2n\\y=2m\end{cases}}\) \(\left(m,n\inℤ\right)\)

Ta có : 

\(A=\left|2n+2m-1000\right|.\left(2n-2m-1017\right)\)

\(A=2\left|n+m-1000\right|.\left(2n-2m-1017\right)⋮2\)

Vậy A là số chẵn 

* Nếu x chẵn và y lẻ : 

\(\Rightarrow\)\(\hept{\begin{cases}x=2n\\y=2m+1\end{cases}}\) \(\left(m,n\inℤ\right)\)

Ta có : 

\(A=\left|2n+2m+1-1000\right|.\left(2n-2m-1-1017\right)\)

\(A=\left|2\left(n+m\right)-999\right|.\left[2\left(n-m\right)-1018\right]\)

Lại có : 

\(2\left(n+m\right)\) chẵn \(\Rightarrow\)\(\left|2\left(n+m\right)-999\right|\) lẻ \(\left(1\right)\) ( chẵn trừ lẻ = lẻ ) 

\(2\left(n-m\right)\) chẵn \(\Rightarrow\)\(2\left(n-m\right)-1018\) chẵn \(\left(2\right)\) ( chẵn trừ chẵn = chẵn ) 

Từ (1) và (2) suy ra \(A=\left|2\left(n+m\right)-999\right|.\left[2\left(n-m\right)-1018\right]\) chẵn ( lẻ nhân chẵn = chẵn ) 

Vậy A là số chẵn 

* Nếu x lẻ và y chẵn : 

\(\Rightarrow\)\(\hept{\begin{cases}x=2n+1\\y=2m\end{cases}}\) \(\left(m,n\inℤ\right)\)

Ta có : 

\(A=\left|2n+1+2m-1000\right|.\left(2n+1-2m-1017\right)\)

\(A=\left|2\left(n+m\right)-999\right|.\left[2\left(n-m\right)-1016\right]\)

Lại có : 

\(2\left(n+m\right)\) chẵn \(\Rightarrow\)\(\left|2\left(n+m\right)-999\right|\) lẻ ( chẵn trừ lẻ = lẻ ) \(\left(3\right)\)

\(2\left(n-m\right)\) chẵn \(\Rightarrow\)\(2\left(n-m\right)-1016\) chẵn ( chẵn trừ chẵn = chẵn ) \(\left(4\right)\)

Từ (3) và (4) suy ra \(\left|2\left(n+m\right)-999\right|.\left[2\left(n-m\right)-1016\right]\) chẵn ( lẻ nhân chẵn = chẵn ) 

Vậy A là số chẵn 

* Nếu x và y lẻ : 

\(\Rightarrow\)\(\hept{\begin{cases}x=2n+1\\y=2m+1\end{cases}}\) \(\left(m,n\inℤ\right)\)

Ta có : 

\(A=\left|2n+1+2m+1-1000\right|.\left(2n+1-2m-1-1017\right)\)

\(A=\left|2n+2m-998\right|.\left[2\left(n-m\right)-1017\right]\)

\(A=2\left|n+m-499\right|.\left[2\left(n-m\right)-1017\right]⋮2\)

Vậy A là số chẵn 

Từ 4 trường hợp trên ta suy ra A là số chẵn với mọi x, y là số nguyên 

Vậy A là số chẵn \(\forall x,y\inℤ\)

Chúc bạn học tốt ~ 

\(a)\) \(x^2-2x-4y^2-4y\)

\(=\)\(\left(x^2-2x+1\right)-\left(4y^2+4y+1\right)\)

\(=\)\(\left(x-1\right)^2-\left(2y+1\right)^2\)

\(=\)\(\left(x-1-2y-1\right)\left(x-1+2y+1\right)\)

\(=\)\(\left(x-2y-2\right)\left(x+2y\right)\)

\(=\)\(2\left(x-y\right)\left(x+2y\right)\)

Chúc bạn học tốt ~ 

a) Ta có x² - 2x - 4y² - 4y

= x² - 2x + 1 - 4y² - 4y - 1 

= (x - 1)² - (4y² + 4y + 1)

=  (x - 1)² - (2y + 1)²

= (x - 1 - 2y  - 1)(x - 1 + 2y + 1)

= (x  - 2y - 1)(x + 2y)

Theo nguyên lý Dirichlet ta có mệnh đề trong ba số thực bất kì x,y,z luôn tìm được hai số có tích không âm 
Áp dụng thì hai trong ba số a-1,b-1,c-1 có tích không âm 
Giả sử (a-1)(b-1)≥0=>(c+1)/c=ab+1≥a+b (do abc = 1) 
Ta có (ab- 1)²+(a-b)²≥0 (luôn đúng) 
Từ đó 1/(1+a)² +1/(1+b)²≥1/(1+ab)=c/(c+1) 
Do đó 1/(1+a)² +1/(1+b)² +1/(1+c)² +2/(1+a)(1+b)(1+c) 
≥c/(c+1)+1/(c+1)²+2/(1+ab+a+b)(1+c) 
=(c²+c+1)/(1+c)²+2/2*[(c+1)/c](c+1) 
=(c²+c+1)/(1+c)²+c/(c+1)² =1

a) Ta có : x³ + 3x² - 4xy² - 12y³

= x²(x + 3) - 4y²(x + 3)

= (x + 3)(x² - 4y²)

= (x + 3)(x - 2y)(x + 2y)

e) x⁵ + x⁴ + 1 

= x⁵ + x⁴ + x³ - x³ - x² - x + x² + x + 1 

= ( x⁵ + x⁴ + x³) - (x³ + x² + x) + ( x² + x + 1)

= x³(x² + x + 1) - x(x² + x + 1) + (x² + x + 1 )

= (x² + x + 1 )(x³ - x + 1)