Cho tam giác $A B C$ vuông tại $B$, phân giác $A D$. Kẻ $D E \perp A C(E \in A C)$.
Chứng minh:
a) $\Delta B A D=\Delta E A D$.
b) $A D$ là trung trực của $B E$.
c) Trên tia đối của tia $B A$ lấy điểm $K$ sao cho $B K=C E$. Chứng minh ba điểm $E, D, K$ thẳng hàng.
a Xét ΔBAD vuông tại A và ΔEAD vuông tại E có
AD chung
\(\widehat{BAD}=\widehat{EAD}\)
Do đó: ΔBAD=ΔEAD
b: Ta có: ΔABD=ΔAED
=>AB=AE và DB=DE
Ta có: AB=AE
=>A nằm trên đường trung trực của BE(1)
Ta có: DB=DE
=>D nằm trên đường trung trực của BE(2)
Từ (1),(2) suy ra AD là đường trung trực của BE
c: Xét ΔDBK vuông tại B và ΔDEC vuông tại E có
DB=DE
BK=EC
Do đó: ΔDBK=ΔDEC
=>\(\widehat{BDK}=\widehat{EDC}\)
mà \(\widehat{EDC}+\widehat{BDE}=180^0\)(hai góc kề bù)
nên \(\widehat{BDE}+\widehat{BDK}=180^0\)
=>E,D,K thẳng hàng
a) Xét Δ���ΔBAD và Δ���ΔEAD:
���^=���^=90∘ABD=AED=90∘.
��AD chung.
���^=���^(��)BAD=EAD(gt).
Suy ra Δ���=Δ���ΔBAD=ΔEAD { (cạnh huyền - góc nhọn)
b) Do Δ���=Δ���ΔBAD=ΔEAD (câu a) nên + ) ��=��AB=AE (Cặp cạnh tương ứng)
�A nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng ��BE (1)
+) ��=��DB=DE (Cặp cạnh tương ứng)
�D nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng ��BE (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra ��AD là đường trung trực của ��BE.
c) Xét Δ���ΔBDK và Δ���ΔEDC:
���^=���^KBD=CED.
��=��BK=CE (gt).
��=��BD=DE.
Suy ra Δ���=Δ���ΔBDK=ΔEDC (c.g.c)
Suy ra ���^=���^BDK=EDC (Cặp góc tương ứng) (1)
Mặt khác ta có �D thuộc cạnh ��BC nên ���^+���^=180∘EDC+EDB=180∘. (2)
v
Từ (1) và (2) suy ra ���^+���^=180∘BDK+EDB=180∘.
Hay ba điểm �,�,�E,D,K thẳng hàng.