Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Theo đề ra, ta có:
\(a+b+c=1\)
\(\Rightarrow a=1-b-c\)
\(\Rightarrow a+1=\left(1-b\right)+\left(1-c\right)\)
Theo AM-GM, ta có:
\(a+1=\left(1-b\right)+\left(1-c\right)\ge2\sqrt{\left(1-b\right)\left(1-c\right)}\) (*)
Chứng minh tương tự:
\(b+1\ge2\sqrt{\left(1-a\right)\left(1-c\right)}\) (**)
\(c+1\ge2\sqrt{\left(1-a\right)\left(1-b\right)}\) (***)
Từ (*)(**)(***) \(\Rightarrow\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\ge8\sqrt{\left[\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\right]^2}=8\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
Cho 2 bộ số a,b,c thỏa mãn a+b+c=0. CMR:
\(2\left(a^7+b^7+c^7\right)=7abc.\left(a^4+b^4+c^4\right)\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có
\(\left(a^4+b^4+c^4\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)=\)
\(=a^7+a^4b^3+a^4c^3+a^3b^4+b^7+b^4c^3+a^3c^4+b^3c^4+c^7\)
\(\Rightarrow\left(a^7+b^7+c^7\right)=\left(a^4+b^4+c^4\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)-a^3b^3\left(a+b\right)-b^3c^3\left(b+c\right)-a^3c^3\left(a+c\right)=\)
Do a+b+c=0
\(\Rightarrow a+b=-c;b+c=-a;a+c=-b\)
\(=\left(a^7+b^7+c^7\right)=\left(a^4+b^4+c^4\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)+a^3b^3c+b^3c^3a+a^3c^3b=\)
\(=\left(a^4+b^4+c^4\right)\left[\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+c^3\right]+abc\left(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\right)=\)
\(=\left(a^4+b^4+c^4\right).3abc+abc\left(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\right)=\)
\(=abc.\left[3\left(a^4+b^4+c^4\right)+a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\right]\) (1)
Mà
\(a^4+b^4+c^4=\left(a^2+b^2+c^2\right)^2-2\left(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\right)=\)
\(=\left[\left(a+b+c\right)^2-2\left(ab+bc+ac\right)\right]^2-2\left(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\right)=\)
\(=4\left(ab+bc+ca\right)^2-2\left(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\right)=\)
\(=4\left[\left(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2+2ab^2c+2abc^2+2a^2bc\right)\right]-2\left(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\right)=\)
\(=2\left(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\right)+8abc\left(a+b+c\right)=\)
\(=2\left(a^2b^2+b^2c^2+a^2b^2\right)\)
\(\Rightarrow a^2b^2+b^2c^2+a^2b^2=\dfrac{a^4+b^4+c^4}{2}\) Thay vào (1) ta có
\(a^7+b^7+c^7=abc.\left[3\left(a^4+b^4+c^4\right)+\dfrac{a^4+b^4+c^4}{2}\right]=\)
\(=7.abc.\dfrac{a^4+b^4+c^4}{2}\)
\(\Rightarrow2\left(a^7+b^7+c^7\right)=7.abc.\left(a^4+b^4+c^4\right)\left(đpcm\right)\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có
\(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)=a^5+a^2b^3+a^2c^3+a^3b^2+b^5+b^2c^3+a^3c^2+b^3c^2+c^5\)
\(\Rightarrow a^5+b^5+c^5=\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)-a^2b^2\left(a+b\right)-b^2c^2\left(b+c\right)-a^2c^2\left(a+c\right)\)
Do a+b+c=0
=> a+b=-c; b+c=-a; a+c=-b
\(\Rightarrow a^5+b^5+c^5=\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)+a^2b^2c+ab^2c^2+a^2bc^2=\)
\(=\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)+abc\left(ab+bc+ac\right)=\)
\(=\left(a^2+b^2+c^2\right)\left[\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+c^3\right]+abc\left(ab+bc+ac\right)=\)
\(=\left(a^2+b^2+c^2\right).\left[\left(-c^3\right)-3ab.\left(-c\right)+c^3\right]+abc\left(ab+bc+ac\right)=\)
\(=\left(a^2+b^2+c^2\right).3abc+abc\left(ab+bc+ab\right)=\)
\(=abc.\left[3\left(a^2+b^2+c^2\right)+ab+bc+ac\right]=\)
\(=abc\left[\dfrac{5}{2}.\left(a^2+b^2+c^2\right)+\dfrac{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac}{2}\right]=\)
\(=abc.\left[\dfrac{5}{2}.\left(a^2+b^2+c^2\right)+\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2}\right]=\)
\(=abc.\dfrac{5}{2}.\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{a^5+b^5+c^5}{5}=abc.\dfrac{a^2+b^2+c^2}{2}\left(đpcm\right)\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Gọi số sản phẩm tổ công nhân đã thực hiện mỗi ngày là \(x\left(x>10;x\inℤ\right)\) sản phẩm
\(\Rightarrow\) Số sản phẩm tổ công nhân dự định thực hiện mỗi ngày là \(x-10\) sản phẩm
Thời gian tổ công nhân hoàn thành sản phẩm trong thực tế là \(\dfrac{240}{x}\) ngày
Thời gian tổ công nhân hoàn thành sản phẩm trong dự định là \(\dfrac{240}{x-10}\) ngày
Do tổ công nhân đã hoàn thành công việc sớm hơn dự định 2 ngày nên ta có phương trình:
\(\dfrac{240}{x-10}-\dfrac{240}{x}=2\)
\(\Rightarrow\dfrac{120}{x-10}-\dfrac{120}{x}=1\)
\(\Rightarrow120x-120x+1200=x^2-10x\)
\(\Rightarrow x^2-10x-1200=0\)
\(\Delta'=25+1200=1225>0\)
\(\Rightarrow\sqrt{\Delta'}=\sqrt{1224}=35\)
Phương trình có hai nghiệm phân biệt \(\left[{}\begin{matrix}x_1=5+35=40\left(tm\right)\\x_2=5-35=-30\left(l\right)\end{matrix}\right.\)
Vậy số sản phẩm tổ công nhân thực hiện mỗi ngày là 40 sản phẩm.