\(A=x^2\sqrt{9-x^2}=\frac{x^2}{\sqrt{3}}.\sqrt{3}.\sqrt{9-x^2}\)

\(\le\frac{x^2}{\sqrt{3}}.\frac{\left(3+9-x^2\right)}{2}\)

\(=\frac{1}{2\sqrt{3}}.\left(-x^4+12x^2\right)=\frac{1}{2\sqrt{3}}.\left(-x^4+12x^2-36+36\right)\)

\(=\frac{1}{2\sqrt{3}}.\left(36-\left(x^2-6\right)^2\right)\le\frac{36}{2\sqrt{3}}=6\sqrt{3}\)

a) x⁴+x³+2x²+x+1=(x⁴+x³+x²)+(x²+x+1)=x²(x²+x+1)+(x²+x+1)=(x²+x+1)(x²+1)

b)a³+b³+c³-3abc=a³+3ab(a+b)+b³+c³ -(3ab(a+b)+3abc)=(a+b)³+c³-3ab(a+b+c)

=(a+b+c)((a+b)²-(a+b)c+c²)-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a²+2ab+b²-ac-ab+c²-3ab)=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-ac-bc)

c)Đặt x-y=a;y-z=b;z-x=c

a+b+c=x-y-z+z-x=o

đưa về như bài b

d)nhóm 2 hạng tử đầu lại và 2hangj tử sau lại để 2 hạng tử sau ở trong ngoặc sau đó áp dụng hằng đẳng thức dề tính sau đó dặt nhân tử chung

e)x²(y-z)+y²(z-x)+z²(x-y)=x²(y-z)-y²((y-z)+(x-y))+z²(x-y)

=x²(y-z)-y²(y-z)-y²(x-y)+z²(x-y)=(y-z)(x²-y²)-(x-y)(y²-z²)=(y-z)(x²-2y²+xy+xz+yz)

Ta có:

VT = \(\frac{a}{b^3-1}+\frac{b}{a^3-1}=\frac{a}{\left(b-1\right)\left(b^2+b+1\right)}+\frac{b}{\left(a-1\right)\left(a^2+a+1\right)}\)

\(=\frac{a}{-a\left(b^2+b+1\right)}+\frac{b}{-b\left(a^2+a+1\right)}=\frac{-1}{b^2+b+1}-\frac{1}{a^2+a+1}\)

\(=\frac{-a^2-a-1-b^2-b-1}{\left(b^2+b+1\right)\left(a^2+a+1\right)}=\frac{-a^2-b^2-3}{a^2b^2+ab^2+b^2+a^2b+ab+b+a^2+a+1}\)

\(=\frac{-\left[\left(a+b\right)^2-2ab\right]-3}{a^2b^2+ab\left(a+b\right)+\left(a+b\right)^2+ab-2ab+\left(a+b\right)+1}\)

\(=\frac{-\left[1-2ab\right]-3}{a^2b^2+ab+1-ab+1+1}\)

\(=\frac{2\left(ab-2\right)}{a^2b^2+3}=VP\)

Vậy nên VT = VP hay \(\frac{a}{b^3-1}+\frac{b}{a^3-1}=\frac{2\left(ab-2\right)}{a^2b^2+3}\)   (dpcm)

a²(1+b²)\(\ge\)2a²b;b²(1+c²)\(\ge\)2b²c;c²(1+a²)\(\ge\)2ac² (cô -si 2 số)

VT\(\ge\)2(a²b+b²c+ac²)\(\ge\)2..\(3\sqrt[3]{a^2b.ac^2.b^2c}=2.3\sqrt[3]{a^3b^3c^3}=6abc\)

Dấu "="xảy ra <->a=b=c

\(a^2\left(1+b^2\right)+b\left(1+c^2\right)+c\left(1+a^2\right)\)=\(a^2+a^2b^2+b^2+b^2c^2+c^2+c^2a^2\)

ta có \(a^2;b^2;c^2;a^2b^2;b^2c^2;c^2a^2\ge0\)áp dụng bất đẳng thức cói 6 số với các số dương trên ta có \(a^2+b^2+c^2+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\)\(\ge6\sqrt[6]{a^2.b^2.c^2.a^2b^2.b^2c^2.c^2a^2}\)\(=6\sqrt[6]{a^6.b^6.c^6}\)\(=6\sqrt[6]{\left(abc\right)^6}=6abc\)

dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=ab=bc=ca =1 hoặc=0

a) x⁴+x³+2x²+x+1=(x⁴+x³+x²)+(x²+x+1)=x²(x²+x+1)+(x²+x+1)=(x²+x+1)(x²+1)

b)a³+b³+c³-3abc=a³+3ab(a+b)+b³+c³ -(3ab(a+b)+3abc)=(a+b)³+c³-3ab(a+b+c)

=(a+b+c)((a+b)²-(a+b)c+c²)-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a²+2ab+b²-ac-ab+c²-3ab)=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-ac-bc)

c)Đặt x-y=a;y-z=b;z-x=c

a+b+c=x-y-z+z-x=o

đưa về như bài b

d)nhóm 2 hạng tử đầu lại và 2hangj tử sau lại để 2 hạng tử sau ở trong ngoặc sau đó áp dụng hằng đẳng thức dề tính sau đó dặt nhân tử chung

e)x²(y-z)+y²(z-x)+z²(x-y)=x²(y-z)-y²((y-z)+(x-y))+z²(x-y)

=x²(y-z)-y²(y-z)-y²(x-y)+z²(x-y)=(y-z)(x²-y²)-(x-y)(y²-z²)=(y-z)(x²-2y²+xy+xz+yz)

tính 2 cái sau trước là ra mẫu chung

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

e hèm

vãi

cos 14 cos87 sin47 sin78

cảm ơn b nhiều .  kết bn với mình nha

phânf thưởng là một k

a) x⁴+x³+2x²+x+1=(x⁴+x³+x²)+(x²+x+1)=x²(x²+x+1)+(x²+x+1)=(x²+x+1)(x²+1)

b)a³+b³+c³-3abc=a³+3ab(a+b)+b³+c³ -(3ab(a+b)+3abc)=(a+b)³+c³-3ab(a+b+c)

=(a+b+c)((a+b)²-(a+b)c+c²)-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a²+2ab+b²-ac-ab+c²-3ab)=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-ac-bc)

c)Đặt x-y=a;y-z=b;z-x=c

a+b+c=x-y-z+z-x=o

đưa về như bài b

d)nhóm 2 hạng tử đầu lại và 2hangj tử sau lại để 2 hạng tử sau ở trong ngoặc sau đó áp dụng hằng đẳng thức dề tính sau đó dặt nhân tử chung

e)x²(y-z)+y²(z-x)+z²(x-y)=x²(y-z)-y²((y-z)+(x-y))+z²(x-y)

=x²(y-z)-y²(y-z)-y²(x-y)+z²(x-y)=(y-z)(x²-y²)-(x-y)(y²-z²)=(y-z)(x²-2y²+xy+xz+yz)

Ta có:\(\hept{\begin{cases}\sqrt{x^2-8x+16}+\sqrt{x^2-12x+36}=|x-4|+|6-x|\ge|x-4+6-x|=2\\-x^2+10x-23=-\left(x^2-10x+23\right)=-\left(x^2-10x+25-2\right)=-\left(x-5\right)^2+2\le2\end{cases}}\)

Dấu " = " xảy ra khi: x = 5.

Vậy x = 5.