\(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}-\frac{2\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}=\frac{x-2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}\)

áp dụng bđt cô si  ta có:

\(\left(x+y\right)+4\ge4\sqrt{x+y};\left(y+z\right)+4\ge4\sqrt{y+z};\left(z+x\right)+4\ge4\sqrt{z+x}\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)+\left(y+z\right)+\left(z+x\right)+12\ge4\left(\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}\right)\)

\(\Rightarrow24\ge4\left(\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}\right)\Rightarrow6\ge\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}\)

\(A=\frac{x}{1-x^2}+\frac{y}{1-y^2}+\frac{z}{1-z^2}\)

Có BĐT phụ \(\frac{x}{1-x^2}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}x^2\)

\(\Leftrightarrow\frac{\frac{-x^2\left(27x^6-54x^4+27x^2-4\right)}{4\left(x-1\right)^2\left(x+1\right)^2}}{\frac{x}{1-x^2}+\frac{3\sqrt{3}}{2}x^2}\ge0\)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại cũng có:

\(\frac{y}{1-y^2}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}y^2;\frac{z}{1-z^2}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}z^2\)

Cộng theo vế  3 BĐT trên ta có;

\(A\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}\left(x^2+y^2+z^2\right)=\frac{3\sqrt{3}}{2}\)

Khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

Bài này ngoài cách này còn có 1 cách khá trâu mà giờ mỏi v~ ý cần thêm thì ib 

Bài làm thì m không ý kiến nhưng mà m nghĩ cái bất đẳng thức phụ bác nên chứng minh lại đi. Ai lại cố gắng làm cho nó thành 1 đống rồi khẳng định đống đó là đúng bao giờ. Làm thế thì không phải bài chứng minh rồi.

ta có \(A=\frac{x^2-1}{x^2+1}=\frac{x^2+1-2}{x^2+1}=1-\frac{2}{x^2+1}\)

vì \(x^2+1\ge1\Rightarrow\frac{2}{x^2+1}\le2\Rightarrow-\frac{2}{x^2+1}\ge-2\)

=> \(A\ge-1\)

dấu = xảy ra <=> x=0

Bài 1 bạn nhân \(\left(b-\sqrt{b^2+2017}\right)\)sau đó nó tạo thành hăng đẳng thức,sau đó tiếp tục nhân liên hợp,là ra a=-b

\(\Rightarrow a+b=0\)

1/ Ta có:

\(\hept{\begin{cases}\left(a+\sqrt{a^2+2017}\right)\left(\sqrt{a^2+2017}-a\right)\left(b+\sqrt{b^2+2017}\right)=2017\left(\sqrt{a^2+2017}-a\right)\\\left(a+\sqrt{a^2+2017}\right)\left(\sqrt{b^2+2017}-b\right)\left(b+\sqrt{b^2+2017}\right)=2017\left(\sqrt{b^2+2017}-b\right)\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2017\left(b+\sqrt{b^2+2017}\right)=2017\left(\sqrt{a^2+2017}-a\right)\\2017\left(a+\sqrt{a^2+2017}\right)=2017\left(\sqrt{b^2+2017}-b\right)\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}b+\sqrt{b^2+2017}=\sqrt{a^2+2017}-a\left(1\right)\\a+\sqrt{a^2+2017}=\sqrt{b^2+2017}-b\left(2\right)\end{cases}}\)

Lấy (1) + (2) vế theo vế ta được

\(a+b=0\)

\(\hept{\begin{cases}x\sqrt{12-y}+\sqrt{y\left(12-x^2\right)}=12\left(1\right)\\x^3-8x-1=2\sqrt{y-2}\left(2\right)\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(1\right)\Leftrightarrow\sqrt{y\left(12-x^2\right)}=12-x\sqrt{12-y}\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{y\left(12-x^2\right)}\right)^2=\left(12-x\sqrt{12-y}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow x^2-2x\sqrt{12-y}+\left(12-y\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-\sqrt{12-y}\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow3-y=x^2-9\left(3\right)\)

Ta lại có:

\(\left(2\right)\Leftrightarrow\left(x^3-8x-3\right)=2\left(\sqrt{y-2}-1\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(x^2+3x+1\right)=\frac{2\left(y-3\right)}{\sqrt{y-2}+1}\left(4\right)\)

Thay (3) vào (4) ta được:

\(\left(x-3\right)\left(x^2+3x+1\right)+\frac{2\left(x^2-9\right)}{\sqrt{y-2}+1}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(x^2+3x+1+\frac{2\left(x+3\right)}{\sqrt{y-2}+1}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=3\\y=3\end{cases}}\)

Đặt \(\sqrt{x^2-x+1}=a"ĐK:a>0"\)

\(pt\Leftrightarrow\frac{"6^2+3x^4a""4-a^2"}{4"2+a"a^2}=a"2-a"\)

\(\Leftrightarrow"x^6+3x^4a""4-a^2"=4a^3"4-a^2"\)

\(\Leftrightarrow"4-a^2""x^6+3x^4a-4a^3"=0\)

TH1: \(4-a^2=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a=-2\\a=2\end{cases}}\)

Với \(a=2,\sqrt{x^2-x+1}=2\Rightarrow x^2-x-3=0\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{\sqrt{3}+1}{2}\\x=\frac{-\sqrt{13}+1}{2}\end{cases}}\)

TH2: \(x^6+3x^4a-4a^3=0\Rightarrow x^6-4x^4a-4x^2a^2+4x^2a^2-4a^3=0\)

\(\Leftrightarrow"x^2-a""x^4+4x^2a+4a^2"=0\Leftrightarrow"x^2-a""x^2+2a"^2=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x^2=a\\x^2=-2a\end{cases}}\)

Với \(x^2=a\Rightarrow x^2=\sqrt{x^2-x+1}\)

P/s: Tham khảo thôi đừng có chép nguyên vào

Thay dấu ngoặc kép thành ngoặc đơn nha

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,...........

rùi đó,tk nha

Có rất nhiều số tự nhiên ko thể viết tất cả được.

Cậu tự đi mà viết.