Đề bài:

\(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{\sqrt{3+1}-1}}-\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{\sqrt{3+1}-1}}\)

= \(\frac{\sqrt{3}\left(\sqrt{\sqrt{3+1}-1}\right)}{\left(\sqrt{\sqrt{3+1}-1}\right).\left(\sqrt{\sqrt{3+1}+1}\right)}.\frac{\sqrt{3}\left(\sqrt{\sqrt{3+1}+1}\right)}{\left(\sqrt{\sqrt{3+1}-1}\right).\left(\sqrt{\sqrt{3+1}+1}\right)}\)

= \(\frac{\sqrt{3}\left(\sqrt{\sqrt{3+1}-1}\right)-\sqrt{3}\left(\sqrt{\sqrt{3+1}+1}\right)}{\left(\sqrt{\sqrt{3+1}-1}\right).\left(\sqrt{\sqrt{3+1}+1}\right)}\)

= \(\frac{\sqrt{3}.\left[\left(\sqrt{\sqrt{3+1}-1}\right).\left(\sqrt{\sqrt{3+1}+1}\right)\right]}{\left(\sqrt{\sqrt{3+1}}\right)^2-1^2}\)

= \(\frac{\sqrt{3}\left(\sqrt{\sqrt{3+1}}-1-\sqrt{\sqrt{3+1}}-1\right)}{\sqrt{3}+1-1}\)

= \(\frac{\sqrt{3}.\left(-2\right)}{\sqrt{3}}\)

= -2

Cái này mới đầy đủ và đúng hơn ( cãi nãy là sai vè thiếu nha ) ^^

\(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{\sqrt{3}+1}-1}-\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{\sqrt{3}+1}+1}\)

=\(\frac{\sqrt{3}\left(\sqrt{\sqrt{3}+1}+1\right)-\sqrt{3}\left(\sqrt{\sqrt{3}+1}-1\right)}{\sqrt{3}+1-1}\)

=\(\frac{\sqrt{3}\left(\sqrt{\sqrt{3}+1}+1-\sqrt{\sqrt{3}+1}+1\right)}{\sqrt{3}}\)

=2

\(\sqrt{99}+\sqrt{101}=9,94........+10,04.......\)

Mà 9,94 + 10,04 = 19,98 < 20

Vậy \(\sqrt{99}+\sqrt{101}< 20\)

Xét : (\(\sqrt{99}+\sqrt{101}\))^2 = 99+101 + 2\(\sqrt{99.101}\)<= 200 + 99+101 ( bđt cosi ) = 400

=> \(\sqrt{99}+\sqrt{101}\)< 20

k mk nha

x = 6

y = 30
 

Mình nới học lớp 5 mà bố mình bắt làm bài lớp 9

Chia thỏi vàng thành 3 phần bằng 2 nhát cắt,phần 1 bằng 1/7 thỏi bạc,phần 2 bằng 2/7 thỏi bạc,phần 3 bằng 4/7 thỏi bạc

Ngày 1:Đưa Cuội 1/7 thỏi bạc

Ngày 2:Đưa Cuội 2/7 thỏi bạc,lấy lại 1/7 thỏi bạc

Ngày 3:Đưa Cuội 1/7 thỏi bạc

Ngày 4:Đưa Cuội 4/7 thỏi bạc,lấy lại 1/7 thỏi bạc và 2/7 thỏi bạc

Ngày 5:Đưa Cuội 1/7 thỏi bạc

Ngày 6:Đưa Cuội 2/7 thỏi bạc,lấy lại 1/7 thỏi bạc

Ngày 7:Đưa Cuội 1/7 thỏi bạc

Bằng hai nhát cắt, Phú Ông có thể chia thỏi bạc thành ba phần theo tỉ lệ là 1/7 ;2/7  và 4/7  thỏi bạc.

Ta đặt là phần (1), (2) và (3) tương ứng với tỉ lệ trên.

Sau đó mỗi ngay, Phú Ông sẽ trả tiền công cho Cuội như sau:

- Ngày thứ nhất: Trả phần (1)

- Ngày thứ hai: Trả phần (2) và lấy lại phần (1)

- Ngày thứ ba: Trả tiếp phần (1)

- Ngày thứ tư: Trả phần (3) và lấy lại phần (1) và phần (2)

- Ngày thứ năm: Trả phần (1)

- Ngày thứ sáu: Trả phần (2) và lấy lại phần (1)

- Ngày thứ bảy: Trả nốt phần (1)

ta có \(3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)

\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge9\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge3\)

Bất đẳng thức chứng minh tương đương với:

\(\frac{a^2b}{2+a^2b}+\frac{b^2c}{2+b^2c}+\frac{c^2a}{2+c^2a}\le1\)

Áp dụng Cô-si ta có:

\(2+a^2b=1+1+a^2b\ge3\sqrt[3]{a^2b}\)

\(\Rightarrow\frac{a^2b}{2+a^2b}\le\frac{1}{3}\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\le\frac{2a^2+b^2}{9}\)

CHưng minh tương tự ta có:

\(\frac{b^2c}{2+b^2c}\le\frac{2b^2+c^2}{9},\frac{c^2a}{2+c^2a}\le\frac{2c^2+a^2}{9}\)

Cộng là ta có \(đpcm.\)

Dấu \(=\)xảy ra khi \(a=b=c=1\)

AM-GM ngược 

Giả sử E là số tự nhiên

Biến đổi E ta có :

\(E=\frac{3n^2}{2n^2+n-1}+\frac{1}{n+1}=\frac{3n^2}{\left(n+1\right)\left(2n-1\right)}+\frac{2n-1}{\left(n+1\right)\left(2n-1\right)}=\frac{3n^2+2n-1}{\left(n+1\right)\left(2n-1\right)}\)

\(=\frac{\left(n+1\right)\left(3n-1\right)}{\left(n+1\right)\left(2n-1\right)}=\frac{3n-1}{2n-1}\)

Do E là số tự nhiên \(\Rightarrow\left(3n-1\right)⋮\left(2n-1\right)\)

\(\Leftrightarrow2\left(3n-1\right)⋮\left(2n-1\right)\Rightarrow\left[2\left(3n-1\right)-3\left(2n-1\right)\right]⋮2n-1\)

\(\Leftrightarrow\left(6n-2-6n+3\right)⋮\left(2n-1\right)\Leftrightarrow1⋮\left(2n-1\right)\)

\(\Rightarrow2n-1\inƯ\left(1\right)=\left\{\pm1\right\}\)

Xét \(2n-1=1\Rightarrow n=1\left(KTM:n>1;\text{loại}\right)\)

Xét \(2n-1=-1\Rightarrow n=0\left(KTM:n>1;\text{loại}\right)\)

Vậy ko có số tự nhiên n > 1 nào để \(\left(3n-1\right)⋮\left(2n-1\right)\) hay 3n - 1 ko chia hết cho 2n - 1

=> điều giả sử là sai hay E ko thể là số tự nhiên (đpcm)

ta có  \(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{a+c}\)\(-\)\(\frac{c^2}{a+b}\)\(-\frac{a^2}{b+c}-\frac{c^2}{a+c}\)=0

=> \(\frac{a^2-c^2}{a+b}\)+\(\frac{b^2-a^2}{b+c}\)+\(\frac{c^2-b^2}{a+c}\)=0

=> \(\hept{\begin{cases}a^2-c^2=0\\b^2-a^2=0\\c^2-b^2=0\end{cases}}\)=>\(\hept{\begin{cases}a^2=c^2\\b^2=a^2\\c^2=b^2\end{cases}}\)=> a²=b²=c²   (dpcm)

mình mới lớp 7