Bạn nên viết đề bằng công thức toán để được hỗ trợ tốt hơn. Viết như thế kia rất khó đọc.

\(P=\dfrac{\sqrt[]{x}+1}{\sqrt[]{x}-2}\left(x\ge0;x\ne4\right)\)

\(P=\dfrac{\sqrt[]{x}-2+3}{\sqrt[]{x}-2}=1+\dfrac{3}{\sqrt[]{x}-2}\)

\(P=1+\dfrac{3\left(\sqrt[]{x}+2\right)}{\left(\sqrt[]{x}-2\right)\left(\sqrt[]{x}+2\right)}\)

\(P=1+\dfrac{3\left(\sqrt[]{x}+2\right)}{\left(x-4\right)}\)

Thay \(x=\dfrac{2-\sqrt[]{3}}{2}\) vào P

\(\Rightarrow P=1+\dfrac{3\left(\sqrt[]{\dfrac{2-\sqrt[]{3}}{2}}+2\right)}{\left(\dfrac{2-\sqrt[]{3}}{2}-4\right)}\)

\(\Rightarrow P=1+\dfrac{3\left(\sqrt[]{1-\dfrac{\sqrt[]{3}}{2}}+2\right)}{\left(1-\dfrac{\sqrt[]{3}}{2}-4\right)}\)

\(\Rightarrow P=1+\dfrac{3\left(\sqrt[]{1-\dfrac{\sqrt[]{3}}{2}}+2\right)}{\left(-3-\dfrac{\sqrt[]{3}}{2}\right)}\)

\(\Rightarrow P=1-\dfrac{3\left(\sqrt[]{1-\dfrac{\sqrt[]{3}}{2}}+2\right)}{\dfrac{\sqrt[]{3}}{2}\left(2\sqrt[]{3}-1\right)}\)

\(\Rightarrow P=1-\dfrac{2\sqrt[]{3}\left(\sqrt[]{1-\dfrac{\sqrt[]{3}}{2}}+2\right)}{\left(2\sqrt[]{3}-1\right)}\)

Lời giải:
$A=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)=[(x-1)(x-4)][(x-2)(x-3)]=(x^2-5x+4)(x^2-5x+6)$

$=a(a+2)$ (đặt $x^2-5x+4=a$)

$=a^2+2a=(a+1)^2-1=(x^2-5x+5)^2-1\geq -1$

Vậy $S_{\min}=-1$. Giá trị này đạt tại $x^2-5x+5=0$

$\Leftrightarrow x=\frac{5\pm \sqrt{5}}{2}$

Lời giải:

a.

$\frac{-12345}{12344}=\frac{-(12344+1)}{12344}=-1+\frac{-1}{12344}$

$\frac{-12346}{12345}=\frac{-(12345+1)}{12345}=-1+\frac{-1}{12345}$

Hiển nhiên $\frac{1}{12344}> \frac{1}{12345}$

$\Rightarrow \frac{-1}{12344}< \frac{-1}{12345}$

$\Rightarrow -1+ \frac{-1}{12344}< -1+\frac{-1}{12345}$

$\Rightarrow \frac{-12345}{12344}< \frac{-12346}{12345}$

b.

$\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{100^2}$
$< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{99.100}$

$=\frac{2-1}{1.2}+\frac{3-2}{2.3}+\frac{4-3}{3.4}+...+\frac{100-99}{99.100}$

$=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}$

$=1-\frac{1}{100}<1$

tách thành 35.(10+10-2)

=350+350-70

=700-70

=630

35.(2.10-2)=700-70=630

Lời giải:

Trong 1 giờ:

- Vòi 1 chảy được $\frac{1}{8}$ bể 

- Vòi 2 chảy được $\frac{1}{6}$ bể 

- Vòi 3 tháo được $\frac{1}{4}$ bể

Vậy trong 1 giờ 3 vòi cùng mở thì được: $\frac{1}{8}+\frac{1}{6}-\frac{1}{4}=\frac{1}{24}$ (bể) 

Cần phải chảy thêm $1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}$ bể thì mới đầy. 

Ba vòi cùng chảy để đầy thêm $\frac{4}{5}$ bể thì mất:
$\frac{4}{5}: \frac{1}{24}=19,2$ (giờ)

\(A=x^2-xy+y^2\)

\(\Rightarrow A=x^2-xy+\dfrac{1}{4}y^2-\dfrac{1}{4}y^2+y^2\)

\(\Rightarrow A=\left(x-\dfrac{1}{2}y\right)^2+\dfrac{3}{4}y^2\)

mà \(\left(x-\dfrac{1}{2}y\right)^2\ge0;\dfrac{3}{4}y^2\ge0\)

\(\Rightarrow A=\left(x-\dfrac{1}{2}y\right)^2+\dfrac{3}{4}y^2\ge0\)

\(\Rightarrow\left(x-\dfrac{1}{2}y\right)^2+\dfrac{3}{4}y^2>0\) với mọi x,y không đồng thời bằng 0