a) x⁴ + 2x³ + x²

= x² ( x² + 2x + 1 )

= x² ( x + 1 )² 

b) 5x² - 10xy + 5y² - 20z² 

= 5 [(x² - 2xy + y² ) - 4z² ] 

= 5 [( x - y )² - ( 2z )² ]

= 5 ( x - y - 2z ) ( x - y + 2z )

 c) x³ - x + 3x²y + 3xy²+ y³- y

= ( x³ + 3x²y + 3xy² + y³ ) - ( x + y )

= (x + y )³ - ( x + y)

= ( x + y ) [( x + y )² - 1 ]

= ( x + y ) ( x + y + 1 ) ( x + y - 1 )

\(A=\frac{2x+3y}{2x+y+2}\)

\(\Leftrightarrow A\left(2x+y+2\right)=2x+3y\)

\(\Leftrightarrow2A=2x\left(1-A\right)+y\left(3-A\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(2A\right)^2=\left(2x\left(1-A\right)+y\left(3-A\right)\right)^2\le\left(4x^2+y^2\right)\left(\left(1-A\right)^2+\left(3-A\right)^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(2A\right)^2\le\left(\left(1-A\right)^2+\left(3-A\right)^2\right)\)

\(\Leftrightarrow-5\le A\le1\)

Chết em ấn nhầm nút rồi

Gọi số chính phương phải tìm là \(A=m^2=\overline{aabb}\) và \(a,b\)là các chữ số,\(a\ne0\)

Ta có:\(A=\overline{aabb}=\overline{aa00}+\overline{bb}=11a\cdot100+11b=11\left[99a+\left(a+b\right)\right]\left(1\right)\)

Để A là số chính phương thì \(99a+\left(a+b\right)⋮11\)

\(\Rightarrow a+b⋮11\)vì \(99a⋮11\)

Mà \(1\le a+b\le18\)

\(\Rightarrow a+b=11\)

Thay vào \(\left(1\right)\) ta được:\(m^2=11\left(99a+11\right)=11^2\left(9a+1\right)\)

\(\Rightarrow9a+1\)là số chính phương

Thử a lần lượt từ 1 đến 9 theo điều kiện trên ta được a=7 thỏa mãn khi đó b=4.

\(\Rightarrow\)Số chính phương cần tìm là \(7744\)

 số abcd chia hết cho 11 khi a+c-b-d chia hết cho 11 
hay a-b+c-d=11 
theo đề ta cũng có a+b+c+d chia hết cho 11 
=>a+b+c+d=11 hoặc 22 hoăc 33 
nếu a+b+c+d=11 thì a+c=11 và b+d=0 
=>có 8 số 
nếu a+b+c+d=22 thì a+c=16.5 và b+d=5,5 (loại) 
nếu a+b+c+d=33 thì a+c=22 và b+d=11(loại) 
vậy có 8 số thỏa mãn

1)  Áp dụng định lí Pitago vào \(\Delta ABC\)vuông tại \(A\), 

\(AB^2+AC^2=BC^2\)

\(\Rightarrow BC^2=12^2+16^2\)

\(\Rightarrow BC^2=144+256\)

\(\Rightarrow BC^2=400\)

\(\Rightarrow BC=20\)\(\left(cm\right)\)( VÌ \(BC>0\))

VẬY \(BC=20cm\)

áP DỤNG hệ thức lượng vào \(\Delta ABC\)vuông tại \(A\)đường cao \(AH\)ta có:

\(AB.AC=AH.BC\)

\(\Rightarrow AH=\frac{AB.AC}{BC}\)

\(\Rightarrow AH=\frac{12.16}{20}=9,6\left(cm\right)\)

VẬY \(AH=9,6cm\)

2. áP DỤNG định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn ta có:

\(\sin B=\frac{AC}{BC}\)\(\Rightarrow\sin B=\frac{16}{20}=\frac{4}{5}\)

\(\Rightarrow\widehat{B}\approx54^0\)

\(\Rightarrow\widehat{C}=90^0-54^0=36^0\)

3. 

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:

\(VT=\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}\)

\(\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a+2b}\ge\frac{9}{\sqrt{\left(1+2\right)\left(a^2+2b^2\right)}}\)

\(>\frac{9}{\sqrt{3\cdot3c^2}}=\frac{9}{3c}=\frac{3}{c}=VP\)

\(A=\left(\sqrt{x}-\frac{x+2}{\sqrt{x}+1}\right):\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}-\frac{\sqrt{x}-4}{1-x}\right)\)  \(ĐKXĐ:x\ge0;x\ne1;x\ne4\)

\(A=\left[\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)-x-2}{\sqrt{x}+1}\right]:\left[\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}+\frac{\sqrt{x}-4}{x-1}\right]\)

\(A=\frac{x+\sqrt{x}-x-2}{\sqrt{x}+1}:\left[\frac{x-\sqrt{x}+\sqrt{x}-4}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\right]\)

\(A=\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1}:\frac{x-4}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\)

\(A=\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1}.\frac{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\)

\(A=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+2}\)

vậy \(A=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+2}\)

b)theo bài ra: \(A=\frac{1}{\sqrt{x}}\)

\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+2}=\frac{1}{\sqrt{x}}\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-1\right).\sqrt{x}=\sqrt{x}+2\)

\(\Leftrightarrow x-\sqrt{x}-\sqrt{x}-2=0\)

\(\Leftrightarrow x-2\sqrt{x}-2=0\)

\(\Leftrightarrow x-2\sqrt{x}+1-3=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-1\right)^2-\left(\sqrt{3}\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-1-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{x}-1+\sqrt{3}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\sqrt{x}-1-\sqrt{3}=0\\\sqrt{x}-1+\sqrt{3}=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\sqrt{x}=\sqrt{3}+1\\\sqrt{x}=1-\sqrt{3}\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\left(\sqrt{3}+1\right)^2\\x=\left(1-\sqrt{3}\right)^2\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=3+2\sqrt{3}+1\\x=3-2\sqrt{3}+1\end{cases}}\)

vậy......