a³ + b³ + c³ = \(\orbr{\begin{cases}\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)+3abc\\\left(a+b+c\right)^3-3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\end{cases}}\)

Chứng minh từng cái một nhé :)

1/ ( a + b + c )( a² + b² + c² - ab - bc - ca ) + 3abc

= a( a² + b² + c² - ab - bc - ca ) + b( a² + b² + c² - ab - bc - ca ) + c( a² + b² + c² - ab - bc - ca )  + 3abc

= a³ + ab² + ac² - a²b - abc - a²c + a²b + b³ + c²b - ab² - b²c - abc + a²c + b²c + c³ - abc - c²b - c²a + 3abc

= a³ + b³ + c³ - 3abc + 3abc 

= a³ + b³ + c³ ( đpcm )

2/ ( a + b + c )³ - 3( a + b )( b + c )( c + a )

= [ ( a + b ) + c ]³ - ( 3a + 3b )( bc + ab + c² + ac )

= [ ( a + b )³ + 3( a + b )²c + 3( a + b )c² + c³ ] - ( 3abc + 3a²b + 3ac² + 3a²c + 3b²c + 3ab² + 3bc² + 3abc )

= [ a³ + 3a²b + 3ab² + b³ + 3a²c + 6abc + 3b²c + 3ac² + 3bc² + c³ ] - ( 3abc + 3a²b + 3ac² + 3a²c + 3b²c + 3ab² + 3bc² + 3abc )

= a³ + 3a²b + 3ab² + b³ + 3a²c + 6abc + 3b²c + 3ac² + 3bc² + c³ -  3abc - 3a²b - 3ac² - 3a²c - 3b²c - 3ab² - 3bc² - 3abc 

= a³ + b³ + c³ ( đpcm )

Cái HĐT này nó khá là khó khi phân tích từ VT , nên mình chỉ có thể khai triển từ VP thôi. Thông cam nhé =)

Gọi số cần tìm là x : ( x > 0 ) 

x chia 3 dư 1 ; chia 4 dư 2 ; chia 5 dư 3 ; chia 6 dư 4 

Suy ra x + 2 chia hết cho 3 ; 4 ; 5 ; 6 

\(3=3\)    

\(4=2^2\)  

\(5=5\)   

\(6=2\cdot3\)    

BCNN ( 3 ; 4 ; 5 ; 6 ) = \(2^2\cdot3\cdot5\)= 60 

\(BC\left(3;4;5;6\right)=B\left(60\right)=\left\{0;60;120;180;...\right\}\)

Xét trường hợp 0 : 

x + 2 = 0 

x = -2 ( loại ) 

Xét trường hợp 60 : 

x + 2 = 60 

x = 58 ( nhận ) 

Vậy số cần tìm là 58 

chia cho 3 du 1 la so 7 

chia cho 4 du 2 la so 10

chia cho 5 du 3 la so 8

chia 6 du 4 la 10

sửa lỗi sai

1 These is any onions

>> These are onions .

2. do you some cooking oil ?

>> Would you some cooking oil ?

gọi số cần tìm là ab (0<a<10; b<10)
ta có: ab:(a+b)=5(dư 12)
=>ab=5x(a+b)+12
=>10a+b=5a+5b+12
=>5a-4b=12
Do 12 chia hết cho 4 mà 4b chia hết cho 4
mà UCLN(5,4)=1 nên a chia hết cho 4 => a=4 hoặc a=8
-nếu a=4 thì b=(5x4-12):4=2
 khi đó a+b=4+2=6<12 (vô lí)
-nếu a=8 thì b= (5x8-12):4=7
 khi đó a+b=8+7=15>12 (tm)
vậy số cần tìm là 87

vào câu hỏi tương để xem những bài giống nha!!

học tốt!!

a) gọi tam giác đó là tam giác ABC vuông tại A

Tam giác vuông ABC vuông tại A,có AM là trung tuyến

Trên tia đối của MA lấy điểm D sao cho MA=MD

\(\Rightarrow AM=\frac{1}{2}AD\left(1\right)\)

Ta có Tứ giác ABDC là hình bình hành và góc A = 90

=>ABDC là hình chữ nhật

\(\Rightarrow AD=BC\left(2\right)\)

THAY (2) VÀO (1) 

​\(\Rightarrow AM=\frac{1}{2}BC\)​

Vậy trong một tam giác vuông,đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền

b) ngược lại :3

a) Gọi Δ đó là ΔABC, ΔABC vuông tại A, AM là trung tuyến ΔABC

Trên tia đối MA lấy MD sao cho MD = MA

Xét ΔBMA và ΔCMD có:

MB = MC (AM: trung tuyến BC)

BMA = CMD (đối đỉnh)

MA = MD (cách vẽ)

=> ΔBMA = ΔCMD (c.g.c)

=> AB = DC (2 cạnh tương ứng)

ABM = DCM (2 góc tương ứng), mà 2 góc ở vị trí slt

=> AB // CD

Có: AB // CD, AB ⊥ AC => DC ⊥ CA

Xét ΔBAC và ΔDCA có:

BAC = DCA (cùng = 90^o)

AB = CD (cmt)

AC: chung

=> ΔBAC = ΔDCA (2cgv)

=> BC = DA (2 cạnh tương ứng)

mà AM = 1/2AD => AM = 1/2BC

=> ĐPCM

b) Gọi Δ đó là ABC, AD là trung tuyến Δ, AD = 1/2BC

Do AD là trung tuyến ΔABC => DB = DC = 1/2C

Mà AD = 1/2BC

=> DB = DC = DA

=> ΔDBA và DAC là 2 Δ cân tại D

=> DBA = DAB, DCA = DAC

Xét ΔABC có: ABC + BCA + BAC = 180^o (đ/lí tổng 3 góc Δ)

=> 2(DAB + DAC) = 180^o

=> BAC = 90^o

=> ΔABC là Δ vuông tại A

=> ĐPCM

ĐKXĐ : \(x\ge0\)

Đặt \(A=\frac{2011x-2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\)

\(=2011\sqrt{x}-2+\frac{1}{\sqrt{x}}\)

\(=2011\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}-2\)

Áp dụng BĐT AM - GM cho hai số dương ta có :

\(2011\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\ge2\sqrt{2011\sqrt{x}\cdot\frac{1}{\sqrt{x}}}=2\sqrt{2011}\)

Do đó : \(A\ge2\left(\sqrt{2011}-1\right)\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=\frac{1}{2011}\)

Vậy \(A_{min}=2\left(\sqrt{2011}-1\right)\) khi \(x=\frac{1}{2011}\)

\(ĐK:x>0\)

Xét biểu thức\(\frac{2011x-2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}=\frac{2011x-2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}-2\left(\sqrt{2011}-1\right)+2\left(\sqrt{2011}-1\right)\)\(=\frac{2011x-2\sqrt{x}+1-2\sqrt{2011x}+2\sqrt{x}}{\sqrt{x}}+2\left(\sqrt{2011}-1\right)\)\(=\frac{\left(\sqrt{2011x}-1\right)^2}{\sqrt{x}}+2\left(\sqrt{2011}-1\right)\ge2\left(\sqrt{2011}-1\right)\)

\(\Rightarrow\frac{2011x-2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\ge2\left(\sqrt{2011}-1\right)\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\sqrt{2011x}=1\Leftrightarrow2011x=1\Leftrightarrow x=\frac{1}{2011}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là \(2\left(\sqrt{2011}-1\right)\), đạt được khi \(x=\frac{1}{2011}\)

Ta có : \(S=\frac{989898.89-898989.98}{2^3+3^4+4^5+...+2014^{2015}}\)

\(=\frac{98\cdot10101\cdot89-89\cdot10101\cdot98}{2^3+3^4+4^5+...+2014^{2015}}\)

\(=\frac{10101\cdot\left(98\cdot89-89\cdot98\right)}{2^3+3^4+4^5+....+2014^{2015}}\)

\(=\frac{10101\cdot0}{2^3+3^4+4^5+....+2014^{2015}}=0\)

Vậy \(S=0\)

\(S=\frac{989898.89-898989.98}{2^3+3^4+4^5+...+2014^{2015}}\)

\(=\frac{98\cdot10101\cdot89-89\cdot10101\cdot98}{2^3+3^4+4^5+...+2014^{2015}}\)

\(=\frac{10101\cdot\left(98\cdot89-89\cdot98\right)}{2^3+3^4+4^5+...+2014^{2015}}\)

\(=\frac{10101\cdot0}{2^3+3^4+4^5+...+2014^{2015}}\)

\(=0\)