Đề lạ đời, sao lại tìm các số thực dương a,b,c, đáng lẽ phải là cho các số thực dương a,b,c chứ. Mà đã thực dương rồi sao \(c\ge0\)(c = 0 đâu có nghĩa là c dương)

Mình nghĩ đề đúng phải là: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn \(c\ge a\)(vì sau khi suy nghĩ và viết lại BĐT thì khi ta nhân hai phân số \(\frac{b}{a}.\frac{c}{b}=\frac{c}{a}\ge1\), cũng có thể đấy chứ) . CMR:...

Bất đẳng thức đã cho tương đương với \(\frac{1}{\left(1+\frac{b}{a}\right)^2}+\frac{1}{\left(1+\frac{c}{b}\right)^2}+\frac{4}{\left(1+\frac{a}{c}\right)^2}\ge\frac{3}{2}\)

Đặt \(\frac{b}{a}=x,\frac{c}{b}=y\left(x,y>0\right)\). Khi đó \(\frac{a}{c}=\frac{1}{xy}\). Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành \(\frac{1}{\left(1+x\right)^2}+\frac{1}{\left(1+y\right)^2}+\frac{4x^2y^2}{\left(1+xy\right)^2}\ge\frac{3}{2}\)

Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức \(\frac{1}{\left(1+x\right)^2}+\frac{1}{\left(1+y\right)^2}\ge\frac{1}{xy+1}\)(*) với x, y là các số dương 

Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow\left(1-xy\right)^2+xy\left(x-y\right)^2\ge0\)*đúng*

Ta quy bài toán về chứng minh \(\frac{1}{xy+1}+\frac{4x^2y^2}{\left(1+xy\right)^2}\ge\frac{3}{2}\)

Đặt \(P=\frac{1}{xy+1}+\frac{4x^2y^2}{\left(1+xy\right)^2}\). Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được:\(\frac{4x^2y^2}{\left(1+xy\right)^2}+1\ge\frac{4xy}{1+xy}\)

Khi đó \(P=\frac{1}{xy+1}+\frac{4x^2y^2}{\left(1+xy\right)^2}+1-1\ge\frac{1}{xy+1}+\frac{4xy}{1+xy}-1\)\(=\frac{3xy}{1+xy}=\frac{3}{\frac{1}{xy}+1}\)(1)

Từ giả thiết \(c\ge a\)suy ra \(\frac{a}{c}\le1\)hay \(\frac{1}{xy}\le1\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{3}{\frac{1}{xy}+1}\ge\frac{3}{1+1}=\frac{3}{2}\)

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c

ĐKXĐ \(4\ge x\ge-4\)

Đặt \(\sqrt{x-4}=a,\sqrt{x+4}=b\left(a,b\ge0\right)\)

Khi đó \(-a^2+4b^2=3x+20\)

Phương trình tương đương

\(-a^2+4b^2+7a=14b\)

,<=>\(\left(a+2b\right)\left(a-2b\right)-7\left(a-2b\right)=0\).

<=> \(\left(a-2b\right)\left(a+2b-7\right)=0\)

<=> \(\orbr{\begin{cases}a=2b\\a+2b=7\end{cases}}\)

+, \(a=2b\)

Mà \(a^2-b^2=-8\)

=> \(3b^2=-8\left(loại\right)\)

+, \(a+2b=7\)

Mà \(a^2-b^2=-8\)

=>\(\hept{\begin{cases}a=1\\b=3\end{cases}}\)

Khi đó x=5

Vậy \(S=\left\{5\right\}\)

Xét pt \(3x+7\sqrt{x-4}=14\sqrt{x+4}-20\)

Với đkxđ x>=4, pt tương đương với

\(3x+20-7\left(2\sqrt{x+4}-\sqrt{x-4}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow3x+20-7\cdot\frac{\left(2\sqrt{x+4}\right)^2-\left(\sqrt{x-4}\right)^2}{2\sqrt{x+4}+\sqrt{x-4}}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(3x+20\right)\left(1-\frac{7}{2\sqrt{x+4}+\sqrt{x-4}}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{x+4}+\sqrt{x-4}=7\left(x\ge4\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x-5\right)\left(\frac{2}{\sqrt{x+4}+3}+\frac{1}{\sqrt{x-4}+1}\right)=0\)

=> x=5 (tmđk)

Vậy x=5 là nghiệm của pt

a, Vì AB = AE (GT) => tgABE cân tại A 

Mà AD là tia phân giác của góc BAE (do E thuộc AC)

Từ 2 điều trên => AD là trung trực của BE

mấy cái kia biết lam kh ạ?

\(=\frac{1}{3}.\left(\frac{3}{20.23}+\frac{3}{23.26}+...+\frac{3}{77.80}\right)\)

\(=\frac{1}{3}.\left(\frac{1}{20}-\frac{1}{23}+\frac{1}{23}-\frac{1}{26}+...+\frac{1}{77}-\frac{1}{80}\right)\)

\(=\frac{1}{3}.\left(\frac{1}{20}-\frac{1}{80}\right)\)

\(=\frac{1}{3}.\frac{3}{80}\)

\(=\frac{1}{80}< \frac{1}{9}\)

Ta có: \(\frac{1}{20.23}+\frac{1}{23.26}+\frac{1}{26.29}+...+\frac{1}{77.80}\)

= \(\frac{1}{3.}\left(\frac{3}{20.23}+\frac{3}{23.26}+\frac{3}{26.29}+...+\frac{3}{77.80}\right)\)

= \(\frac{1}{3}.\left(\frac{1}{20}-\frac{1}{23}+\frac{1}{23}-\frac{1}{26}+\frac{1}{26}-\frac{1}{29}+....+\frac{1}{77}-\frac{1}{80}\right)\)

= \(\frac{1}{3}.\left(\frac{1}{20}-\frac{1}{80}\right)\)

= \(\frac{1}{3}.\frac{3}{80}=\frac{1}{80}< \frac{1}{9}\)

2444/2415

\(=4x\left(\frac{1}{7}+\frac{1}{15}+\frac{1}{23}\right)\)

=.......................

sao lại có ac<ac , nhầm đề rôi

ab < ac . Do bấm máy kh nhìn hjhj

giải hộ mik

\(=\frac{7}{19}.\left(\frac{8}{11}+\frac{3}{11}\right)+\frac{12}{19}\)

\(=\frac{7}{19}.1+\frac{12}{19}\)

\(=1\)

\(\frac{7}{19}\).\(\frac{8}{11}\)+\(\frac{7}{19}\).\(\frac{3}{11}\)+\(\frac{12}{19}\)

=\(\frac{7}{19}\).1+\(\frac{12}{19}\)

=1

hok tốt