103*99=10197

143*102=14586

103*99=10197

143*102=14586

\(2-\left(x-1\right)-\frac{1}{2}\left(x-4\right)=\frac{3}{4}\)

\(\Rightarrow2-x+1-\frac{1}{2}\left(x-4\right)=\frac{3}{4}\)

\(\Rightarrow3-x-\frac{x-4}{2}=\frac{3}{4}\)

\(\Rightarrow\frac{12}{4}-\frac{4x}{4}-\frac{2x-8}{4}=\frac{3}{4}\)

\(\Rightarrow12-4x-2x+8=3\)

\(\Rightarrow-6x=3-12-8\)

\(\Rightarrow-6x=-17\)

\(\Rightarrow x=\frac{17}{6}\)

5 học sinh chiếm:

 1/3 - 2/9 = 1/9 ( cả lớp)

Số học sinh cả lớp là:

 5 : 1/9 = 45 ( học sinh )
Số học sinh giỏi cuối năm là:

 45 x 1/3 = 15 (học sinh)

              Đáp số: 15 học sinh 

                            45 học sinh

#)Giải :

                       Số học sinh giỏi cuối năm so với lúc đầu là :

                                        1/3 - 2/9 = 1/9 ( học sinh giỏi )

                       Số học sinh cả lớp là :

                                        5 : 1/9 = 45 ( học sinh )

                       Số học sinh giỏi lúc đầu là :

                                        2/9 x 45 = 10 ( học sinh giỏi )

                       Số học sinh giỏi cuối năm là :

                                        10 + 5 = 15 ( học sinh giỏi )

                                                  Đ/số : ........................

                P/s : Lần sau bạn viết đề rõ ràng hơn nhé ^^

#)Thắc mắc ?

Where's yêu cầu đề bài ?

Ta có:

\(5x^3+10x^2y+5xy^2\)

= \(5x\left(x^2+2xy+y^2\right)\)

= \(5x\left(x+y\right)^2\)

bạn có sai đề không, mình nghĩ phải là \(x^2+7x+12\)chứ?

\(\frac{\left(\frac{-5}{7}\right)^{n+1}}{\left(\frac{-5}{7}\right)^n}\)

\(=\frac{-5}{7}\)

#)Giải :

\(\frac{\left(\frac{-5}{7}\right)^{n+1}}{\left(\frac{-5}{7}\right)^n}=\frac{\left(\frac{-5}{7}\right)^n\times\left(\frac{-5}{7}\right)}{\left(\frac{-5}{7}\right)^n}=\frac{-5}{7}\)

\(\frac{5^2}{1\cdot6}+\frac{5^2}{6\cdot11}+...+\frac{5^2}{26\cdot31}\)

\(=\frac{25}{1\cdot6}+\frac{25}{6\cdot11}+...+\frac{25}{26\cdot31}\)

\(=5\left[\frac{5}{1\cdot6}+\frac{5}{6\cdot11}+...+\frac{5}{26\cdot31}\right]\)

\(=5\left[1-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{11}+...+\frac{1}{26}-\frac{1}{31}\right]\)

\(=5\left[1-\frac{1}{31}\right]=5\cdot\frac{30}{31}=\frac{150}{31}\)

\(\frac{5^2}{1.6}+\frac{5^2}{6.11}+...+\frac{5^2}{26.31}\)

= \(5.\left(1-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{11}+...+\frac{1}{26}-\frac{1}{31}\right)\)

= \(5.\left(1-\frac{1}{31}\right)\)

= \(5.\frac{30}{31}\)

= \(\frac{150}{31}\)

#)Giải :

Để x . y = 2

=> x,y thuộc ƯCNL(2) = { 1;2;-1;-2 }

\(\hept{\begin{cases}x=1\\x=-1\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}y=2\\y=-2\end{cases}}}\)

\(x.y=2\)

\(\Rightarrow x\)và \(y\in\)Ư ( 2 ) = { \(\pm1,\pm2\)}

Ta có bảng

a) Giả sử không có 2 số nào bằng nhau trong các số nguyên dương đẫ cho.

Không mất tính tổng quát ta giả sử: \(a1< a2< a3< a4< ...< a100\)

Nên : \(a1\ge1;a2\ge2;a3\ge3;...;a100\ge100\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a1}+\frac{1}{a2}+\frac{1}{a3}+...+\frac{1}{a100}\le\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{100}\)

Mặt khác, ta có : \(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{100}< \frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{2}=1+99.\frac{1}{2}=\frac{101}{2}\)

( \(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{100}< \frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{2}\)có 99 phân số 1/2 )

\(\Rightarrow\frac{1}{a1}+\frac{1}{a2}+\frac{1}{a3}+...+\frac{1}{a100}< \frac{101}{2}\)trái với đề bài ra là \(\frac{1}{a1}+\frac{1}{a2}+\frac{1}{a3}+...+\frac{1}{a100}\ge\frac{101}{2}\)

Vậy tồn tại trong 100 số đã cho ít nhất 2 số bằng nhau ( điều phải chứng minh ).

b) Giả sử trong 100 số trên chỉ tồn tại 2 số bằng nhau ( đã chứng minh 2 số bằng nhau ở phần a)

Không mất tính tổng quát, ta giả sử: 

b) Làm tiếp : Giả sử a1=a2.

Nên : \(a1=a2>a3>a4>...>a100\)( áp dụng theo phần a)

\(\Rightarrow a1=a2\ge1;a3\ge2;a4\ge3;...;a100\ge99\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a1}+\frac{1}{a2}+\frac{1}{a3}+...+\frac{1}{a100}\le\frac{2}{a1}+\frac{1}{a3}+...+\frac{1}{a100}=\frac{2}{1}+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{99}\)

Mặt khác, ta có :\(\frac{2}{1}+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{99}< 2+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{3}=\frac{5}{2}+\frac{97}{3}=\frac{209}{6}\)

( \(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{99}< \frac{1}{3}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{3}\)có 97 phân số 1/3 )

\(\Rightarrow\frac{1}{a1}+\frac{1}{a2}+\frac{1}{a3}+...+\frac{1}{a100}< \frac{209}{6}< \frac{303}{6}=\frac{101}{2}\)trái với đề bài

Tương tự giả sử lấy bất kỳ 2 số bằng nhau khác tổng \(\frac{1}{a1}+\frac{1}{a2}+\frac{1}{a3}+...+\frac{1}{a100}\)vẫn nhỏ hơn 101/2

Vậy tồn tại trong 100 số đã cho có ít nhất 3 số bằng nhau ( điều phải chứng minh).

a) Hình tự vẽ dễ dàng.

Ta có : \(\widehat{E}=\widehat{EGH}=60^o\)mà hai góc này nằm ở vị trí so le trong => GH//Dx ( điều phải chứng minh ).

b) Ta có : \(\widehat{GDF}\&\widehat{D}\)là hai góc nằm ở vị trí kề bù

\(\Rightarrow\widehat{GDF}+\widehat{D}=180^o\Leftrightarrow\widehat{GDF}=180^o-\widehat{D}=180^o-60^o=120^o\)

Vì Dx là tia phân giác góc GDF nên : \(\widehat{GDx}=\widehat{FDx}=\frac{\widehat{GDF}}{2}=\frac{120^o}{2}=60^o\)( 1 )

Áp dụng tính chất tổng ba góc trong 1 tam giác : \(\widehat{E}+\widehat{D}+\widehat{F}=180^o\Leftrightarrow\widehat{F}=180^o-\widehat{E}-\widehat{D}=180^o-60^o-60^o=60^o\)( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) \(\Rightarrow\widehat{FDx}=\widehat{F}=60^o\)mà hai góc này nằm ở vị trí so le trong => Dx//EF ( điều phải chứng minh ).