Bình phương trình đầu trừ phương trình thứ hai cho ta được nhân tử (x - 1)xy(2y + 2x - 1) = 0

P/s: Đến đây là dễ rồi, tự làm nốt nhé bn!

trước hết tính \(\Delta\) hoặc \(\Delta'\)  để chứng minh phương trình luôn có nghiệm 

rồi áp dụng định lí vi - ét là ra

\(x^2-2\left(m-1\right)x+m^2-6=0\)

\(\Delta'=\left[-\left(m-1\right)\right]^2-m^2+6\)

\(\Delta'=m^2-2m+1-m^2+6\)

\(\Delta'=7-2m\)

để phương trình có 2 nghiệm thì \(\Delta'>0\Leftrightarrow7-2m>0\)

\(\Leftrightarrow-2m>-7\)

\(\Leftrightarrow m< \frac{7}{2}\)

theo định lí vi - ét \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2\left(m-1\right)\\x_1.x_2=m^2-6\end{cases}}\)

\(x_1^2+x_2^2=x_1.x_2+16\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2\left(x_1.x_2\right)-x_1.x_2-16=0\)

\(\Leftrightarrow\left[2.\left(m-1\right)\right]^2-3.\left(m^2-6\right)-16=0\)

\(\Leftrightarrow4.\left(m^2-2m+1\right)-3m^2+18-16=0\)

\(\Leftrightarrow4m^2-8m+4-3m^2+2=0\)

\(\Leftrightarrow m^2-8m+6=0\)  \(\left(1\right)\)

từ \(\left(1\right)\) ta có \(\Delta'=\left(-4\right)^2-6=16-6=10>0\Rightarrow\sqrt{\Delta'}=\sqrt{10}\)

vì \(\Delta'>0\) nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt 

\(x_1=4-\sqrt{10}\)  ; \(x_2=4+\sqrt{10}\)

Ta có:
\(\frac{a^3b}{a^3+b^3}-\frac{ab^3}{a^3+b^3}=\frac{ab\left(a^2-b^2\right)}{a^3+b^3}=\frac{ab\left(a-b\right)}{a^2-ab+b^2}=\frac{a-b}{\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-1}\ge\frac{a-b}{\frac{a}{b}+\frac{a}{a}-1}=\frac{b\left(a-b\right)}{a}\)
\(\frac{b^3c}{b^3+c^3}-\frac{bc^3}{b^3+c^3}=\frac{bc\left(b^2-c^2\right)}{b^3+c^3}=\frac{bc\left(b-c\right)}{b^2-bc+c^2}=\frac{b-c}{\frac{b}{c}+\frac{c}{b}-1}\ge\frac{b-c}{\frac{a}{c}+\frac{b}{b}-1}=\frac{c\left(b-c\right)}{a}\)
\(\frac{c^3a}{c^3+a^3}-\frac{ca^3}{c^3+a^3}=\frac{ca\left(c^2-a^2\right)}{c^3+a^3}=\frac{ca\left(c-a\right)}{c^2-ca+a^2}=\frac{c-a}{\frac{c}{a}+\frac{a}{c}-1}\ge\frac{c-a}{\frac{a}{c}+\frac{a}{a}-1}=\frac{c\left(c-a\right)}{a}\)
\(\Rightarrow\frac{a^3b}{a^3+b^3}-\frac{ab^3}{a^3+b^3}+\frac{b^3c}{b^3+c^3}-\frac{bc^3}{b^3+c^3}+\frac{c^3a}{c^3+a^3}-\frac{ca^3}{c^3+a^3}\ge\frac{b\left(a-b\right)+c\left(c-a\right)+c\left(b-c\right)}{a}=\frac{ab-b^2-ac+bc}{a}=\frac{\left(a-b\right)\left(b-c\right)}{a}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^3b}{a^3+b^3}+\frac{b^3c}{b^3+c^3}+\frac{c^3a}{c^3+a^3}\ge\frac{ab^3}{a^3+b^3}+\frac{bc^3}{b^3+c^3}+\frac{ca^3}{c^3+a^3}\left(đpcm\right)\)

bình phương 2 vế

dk: VT>=1

dat \(\sqrt{1-x}=a\left(a>=0\right)\)

=>1+x=2-a^2

khi đó  pt đã cho trở thành

\(a+2-a^2+4a\left(2-a^2\right)=6\)

Đặt \(\sqrt{1-x}\)= a ( a \(\ge\)0 )

Khi đó 1 + x = 2 - a²

Vậy biến đổi phương trình thành: 

\(a+2-a^2-4a\left(2-a^2\right)=6\)