Cho tam giác ABC có \(\left(\omega_b\right),\left(\omega_c\right)\)lần lượt là đường tròn bàng tiếp góc B, góc C. Dựng các đường tròn \(\left(\omega_b'\right),\left(\omega_c'\right)\)lần lượt đối xứng với \(\left(\omega_b\right),\left(\omega_c\right)\)qua trung điểm của CA,AB. Chứng minh rằng trục đẳng phương của \(\left(\omega_b'\right)\) và \(\left(\omega_c'\right)\) chia đôi chu vi của tam giác...
Đọc tiếp
Cho tam giác ABC có \(\left(\omega_b\right),\left(\omega_c\right)\)lần lượt là đường tròn bàng tiếp góc B, góc C. Dựng các đường tròn \(\left(\omega_b'\right),\left(\omega_c'\right)\)lần lượt đối xứng với \(\left(\omega_b\right),\left(\omega_c\right)\)qua trung điểm của CA,AB. Chứng minh rằng trục đẳng phương của \(\left(\omega_b'\right)\) và \(\left(\omega_c'\right)\) chia đôi chu vi của tam giác ABC.
Bổ đề: Xét tam giác ABC có tâm nội tiếp I, J là tâm bàng tiếp góc A. Từ I và J hạ IH,JK vuông góc BC, L là đối xứng của H qua I.
Khi đó: i) BK = CH ii) A,L,K thẳng hàng (Tự chứng minh)
Quay trở lại bài toán:
Gọi I là tâm nội tiếp \(\Delta\)ABC, (I) tiếp xúc BC,CA,AB tại D,E,F. Ia;Ib;Ic thứ tự là tâm bàng tiếp các góc A,B,C
Hạ IaG vuông góc BC, J là đối xứng của D qua I. Ib' và Ic' lần lượt là tâm của (wb') và (wc').
Ta có hai điểm Ib và Ib' đối xứng nhau qua trung điểm cạnh AC nên AIbCIb' là hình bình hành
Do đó hình chiếu của Ib và Ib' đối xứng nhau qua trung điểm AC. Theo Bổ đề i) thì (wb') tiếp xúc AC tại E
Tương tự (wc') tiếp xúc với AB tại F. Khi đó PA/(Wb') = PA/(I) = PA/(Wc') suy ra A thuộc trục đẳng phương của (wb'), (wc') (1)
Gọi EJ cắt lại (wb') tại K; FJ cắt lại (wc') tại L. Ta thấy EJ vuông góc DE // CIb // AIb' từ đây suy ra AK là tiếp tuyến của (wb')
Tương tự AL là tiếp tuyến của (wc'). Từ đó bốn điểm K,L,E,F đồng viên. Do vậy PJ/(Wb') = JE.JK = JF.JL = PJ/(Wc')
Suy ra J nằm trên trục đẳng phương của (wb') và (wc') (2)
Từ (1) và (2), kết hợp với Bổ đề ii) ta thu được AG là trục đẳng phương của (wb') và (wc')
Chú ý rằng G là hình chiếu của Ia lên BC nên AB + BG = AC + CG = p. Vậy có ĐPCM.