Có: \(\Delta=a^2b^2-4a-4b\)

Để pt có 2 nghiệm thì \(\Delta\ge0\)

                      \(\Leftrightarrow a^2b^2\ge4a+4b\)

Theo Vi-et: \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=ab\\x_1x_2=a+b\end{cases}}\)

Ta có: \(x_1^2+x_2^2\ge2\left(x_1+x_2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\ge2ab\)

\(\Leftrightarrow a^2b^2-2a-2b\ge2ab\)

\(\Leftrightarrow a^2b^2\ge2a+2b+2ab\)

Hmmm

\(\frac{2}{x^2-y^2}\sqrt{\frac{3\left(x+y\right)^2}{4}}\)

\(=\frac{2}{\left(x-y\right)\left(x+y\right)}.\frac{\left|x+y\right|\sqrt{3}}{2}\)

\(=\frac{\left|x+y\right|\sqrt{3}}{\left(x-y\right)\left(x+y\right)}\)

\(=\orbr{\begin{cases}\frac{\sqrt{3}}{x-y}\left(x+y>0\right)\\\frac{\sqrt{3}}{y-x}\left(x+y< 0\right)\end{cases}}\)

\(T=\frac{2x}{\sqrt{1-\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)}}\)

\(T=\frac{2x}{\sqrt{\frac{4x^2}{\left(1+x^2\right)^2}}}\)

\(T=\frac{2x\sqrt{\left(1+x^2\right)^2}}{\sqrt{4x^2}}\)

\(T=\frac{x}{|x|}\left(1+x^2\right)=\hept{\begin{cases}1+x^2\left(x>0\right)\\-\left(1+x^2\right)\left(x< 0\right)\end{cases}}\)

Ta có:

\(A-B=\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}=\frac{a+b-2\sqrt{ab}}{2}=\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{2}>0\)

Do đó: B < A và:

\(\frac{\left(a-b\right)^2}{8\left(A-B\right)}=\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{4\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}=\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}{4}\)

Mà: \(\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}{4}=\frac{a+b+2\sqrt{ab}}{4}=\frac{a+b}{4}+\frac{\sqrt{ab}}{2}=\frac{A+B}{2}\)

\(B< A\Rightarrow B< \frac{A+B}{2}< A\left(đpcm\right)\)

\(3x^2-\left(3k-2\right)x-\left(3k+1\right)=0\)

\(\left(a=3;b=-\left(3k-2\right);c=-\left(3k+1\right)\right)\)

\(\Delta=b^2-4ac\)

\(=\left[-\left(3k-2\right)\right]^2-4.3.\left[-\left(3k+1\right)\right]\)

\(=9k^2-12k+4-12.\left(-3k-1\right)\)

\(=9k^2-12k+4+36k+12\)

\(=9k^2+24k+16\)

\(=\left(3k\right)^2+2.3k.4+4^2\) 

\(=\left(3k+4\right)^2\)

\(\sqrt{\Delta}=\sqrt{\left(3k+4\right)^2}=3k+4\)

\(x=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{3k-2+3k+4}{2.3}=\frac{6k+2}{6}=\frac{6\left(k+\frac{1}{3}\right)}{6}=k+\frac{1}{3}\)

\(x=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{3k-2-\left(3k+4\right)}{2.3}=\frac{3k-2-3k-4}{2.3}=-1\)

Theo đề bài : \(3x_1-5x_2=6\) ( Trường hợp 1 : Nếu x₁ = k + 1/3 và x_2 ⁼ -1 thì ) 

\(\Rightarrow3.\left(k+\frac{1}{3}\right)-5.\left(-1\right)=6\)

\(\Leftrightarrow3.\left(k+\frac{1}{3}\right)+5=6\)

\(\Leftrightarrow3.\left(k+\frac{1}{3}\right)=1\)

\(\Leftrightarrow k+\frac{1}{3}=\frac{1}{3}\)

\(\Leftrightarrow k=0\)

Theo đề bài : \(3x_1-5x_2=6\) ( Trường hợp 2 : Nếu \(x_1=-1\) và \(x_2=k+\frac{1}{3}\) thì ) 

\(\Rightarrow3.\left(-1\right)-5.\left(k+\frac{1}{3}\right)=6\)

\(\Leftrightarrow-3-5.\left(k+\frac{1}{3}\right)=6\)

\(\Leftrightarrow-5.\left(k+\frac{1}{3}\right)=9\)

\(\Leftrightarrow k+\frac{1}{3}=-\frac{9}{5}\)

\(\Leftrightarrow k=-\frac{32}{15}\)

Vậy : khi \(x_1=k+\frac{1}{3};x_2=-1\) thì k = 0 thõa \(3x_1-5x_2=6\)

      : khi \(x_1=-1;x_2=k+\frac{1}{3}\) thì k = -32/15 thõa \(3x_1-5x_2=6\)

Học tốt nha bạn hiền ! 

camon!

Giải thích nè : 1 ) a khác 0 vì phương trình bậc thì a phải khác 0 , nên a = 0 thì sẽ biến thành pt bậc nhất . 

                       2 ) S > 0 ( S là tổng 2 nghiệm ) ; Vì tổng của 2 số dương phải lớn hơn 0 ( vd : 1 + 2 = 3  ; 0 + 6 = 6 ) 

                      3 ) \(P\ge0\) ( P là tích của 2 nghiệm ) ; Vì tích của 2 số dương phải lớn hơn hoặc bằng 0 ( vd : 4 . 5 = 20 ; 0 . 243 = 0 ) 

                      4 ) \(\Delta'>0\) vì đenta phẩy > 0 thì phương trình mới có 2 nghiệm phân biệt \(x_1;x_2\)

Ta có : ( a = k - 1 ; b = 2(k+ 1 ) ; b' = k + 1 ; c = k ) 

Pt có 2 nghiệm dương \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a\ne0\\S>0;P\ge0\\\Delta'>0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a\ne0\\-\frac{b}{a}>0;\frac{c}{a}\ge0\\b^{'^2}-ac>0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}k-1\ne0\\\frac{-2\left(k+1\right)}{k-1}>0;\frac{k}{k-1}\ge0\\\left(k+1\right)^2-\left(k-1\right).k>0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}k\ne1\\-2k-2>0;k-1>0;k\ge0;k-1\ge0\\k^2+2k+1-k^2+k>0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}k\ne1\\k< -1;k>1;k\ge0;k\ge1\\3k+1>0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}k\ne1\\k< -1;k>1\\k>-\frac{1}{3}\end{cases}}\) ( Vì k > 1 và \(k\ge0\) nên ta chỉ lấy k > 1 thôi ; và loại bỏ \(k\ge1\) vì k phải khác 1  )

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}k\ne1\\k< -1\\k>1\end{cases}}\) ( loại bỏ k > -1/3 vì ta đã có k > 1 rồi nên không cần phải có k > -1/3 nữa ) 

Ta có : k < -1 có nghĩa là  \(\left(-\infty;-1\right)\) trừ vô cùng đến trừ 1 

          : k > 1 có nghĩa là   \(\left(1;+\infty\right)\)  1 đến cộng vô cùng 

Lấy 2 tập hợp này giao lại với nhau :

Vậy đây là một tập hợp rỗng \(\left(\varnothing\right)\) 

Vậy nên k không thể xác định được . 

Học tốt ! 

camon!

Ta có:

\(VT=\sqrt{9x\left(xy-9x\right)}+\sqrt{9y\left(xy-9y\right)}\le\frac{9x+xy-9x}{2}+\frac{9y+xy-9y}{2}\)

\(=xy=VP\)

Dấu =  xảy ra khi \(x=y=18\)

\(\Rightarrow S=\left(18-17\right)^{2018}+\left(18-19\right)^{2019}=1-1=0\)

Ta có:

VT=\sqrt{9x\left(xy-9x\right)}+\sqrt{9y\left(xy-9y\right)}\le\frac{9x+xy-9x}{2}+\frac{9y+xy-9y}{2}VT=9x(xy−9x)​+9y(xy−9y)​≤29x+xy−9x​+29y+xy−9y​

=xy=VP=xy=VP

Dấu =  xảy ra khi x=y=18x=y=18

\Rightarrow S=\left(18-17\right)^{2018}+\left(18-19\right)^{2019}=1-1=0⇒S=(18−17)2018+(18−19)2019=1−1=0