x²-1+4y-4y²=x²-(2y-1)²

                   =(x+2y-1)(x-2y+1)

a) + OM là đường trung bình của tam giác BKC

=> OM // BK và OM = 1/2 BK

+\(\hept{\begin{cases}AH\perp BC\\KB\perp BC\end{cases}\Rightarrow AH//BK}\)

+ O là giao điểm của các đường trung trực của ΔABC

=> AO = BO = CO = OK

=> ΔACK vuông tại A ( đường trung tuyến ứng với 1 cạnh bằng nửa cạnh đó )

=> BH // AK

Do đó : tứ giác AHBK là hình bình hành

b, + \(\hept{\begin{cases}OM=\frac{1}{2}BK\left(CMT\right)\\BK=AH\end{cases}}\)

=> OM=1/2 AH

Theo bất đẳng thức Cauchy :

\(G=\frac{9x}{2-x}+\frac{2-x}{x}+1\ge2\sqrt{\frac{9x\left(2-x\right)}{\left(2-x\right)x}}+1=7\)

Đẳng thức xảy ra khi ...

tự tìm dấu = :))

Trả lời:

\(G=\frac{9}{2-x}+\frac{2}{x}\)\(\left(ĐK:0< x< 2\right)\)

\(G=\frac{9}{2-x}+\frac{2-x+x}{x}\)

\(G=\frac{9}{2-x}+\frac{2-x}{x}+1\)

Áp dụng BĐT Cauchy ta có:

\(\frac{9x}{2-x}+\frac{2-x}{x}\ge2.\sqrt{\frac{9x}{2-x}\times\frac{2-x}{x}}=2.3=6\)

\(\Leftrightarrow\frac{9}{2-x}+\frac{2-x}{x}+1\ge6+1=7\)

Hay \(G\ge7\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{9x}{2-x}=\frac{2-x}{x}\)

\(\Leftrightarrow\left(2-x\right)^2=9x^2=\left(\pm3x\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}2-x=3x\\2-x=-3x\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}2=4x\\2=-2x\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{1}{2}\left(TM\right)\\x=-1\left(L\right)\end{cases}}\)

Vậy \(G_{min}=7\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\)

biểu thức nào?

biểu thức đâu?

biểu thức ÙwÚ

máy lỗi

vì a=by+cz => by=a-cz

mà c=ax+by => by=c-ax

=>a-cz=c-ax (=by)

=> a+ax=c+cz

=> a(x+1)=c(z+1)

tương tự với c=ax+by và b=ax+cz

=> c(z+1)=b(y+1)

=> a(x+1)=b(y+1)=c(z+1)

đặt a(x+1)=b(y+1)=c(z+1)=k

=> 3k=a(x+1)+b(y+1)+c(z+1)

ta có

\(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{1+z}=\frac{a}{a\left(x+1\right)}+\frac{b}{b\left(y+1\right)}+\frac{c}{c\left(z+1\right)}=\frac{a}{k}+\frac{b}{k}+\frac{c}{k}=\frac{a+b+c}{k}\)

\(\frac{3\left(a+b+c\right)}{3k}=\frac{3\left(a+b+c\right)}{\text{ }a\left(x+1\right)+b\left(y+1\right)+c\left(z+1\right)}=\frac{3\left(a+b+c\right)}{ax+a+by+b+cz+c}\)

\(=\frac{3\left(a+b+c\right)}{\left(a+b+c\right)+\left(ax+by+cz\right)}=\frac{3\left(a+b+c\right)}{\left(a+b+c\right)+\frac{1}{2}\left[\left(ax+by\right)+\left(by+cz\right)+\left(cz+ax\right)\right]}\)

ta thấy a+b+c= (ax+by)+(by+cz)+(cz+ax)

\(\Rightarrow\frac{3\left(a+b+c\right)}{\left(a+b+c\right)+\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)}=\frac{3\left(a+b+c\right)}{\frac{3}{2}\left(a+b+c\right)}=\frac{3}{\frac{3}{2}}=2\)

vậy \(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\)ko phụ thuộc vào a,b,c