Mình sẽ làm từ câu C nha vì câu C có liên quan đến câu cuối 

c/ Xét tam giác ABF và tam giác AEC ta có :

Góc BAF = góc CAE ( AF là phân giác)

góc ABF = góc AEC ( 2 góc nt chắn cung AC)

=>tam giác ABF đồng dạng tam giác AEC (g-g)

=>\(\frac{AB}{AE}=\frac{AF}{AC}\)=>AB.AC=AE.AF

d/ Xét tam giác ABF và tam giác CFE ta có:

góc ABF = góc FEC ( 2 góc nt chắn cung AC )

góc BAF = góc FCE (2 góc nt chắn cung EB )

=> tam giác ABF đồng dạng tam giác CEF (g-g)

=>\(\frac{FB}{FE}=\frac{FA}{FC}\)=>FB.FC=FA.FE

Ta có AF.AE=AB.AC (cmt)

          AF.FE=BF.CF (cmt)

=> AF.AE-AF.FE = AB.AC - BF.CF

=> AF(AE-FE) = AB.AC - BF.CF

=> \(AF^2=AB.AC-BF.CF\)

a) Xét (O) có AE là tia phân giác của góc BAC
=> ^BAE=^CAE
=> sđBE=sđCE
=> BE=CE (liên hệ giữa cung và dây cung)
=> tam giác BEC cân tại E (đpcm)

b) Tứ giác ABEC nội tiếp (O)
=> ^BAC+^BEC=180 độ (2 góc đối nhau)
<=> ^BEC=180 độ - ^BAC
Tam giác ABC có ^BAC+^ABC+^BCA=180 độ
=> =180 độ - ^BAC=^ABC+^BCA
Suy ra Góc BEC = góc ABC + góc ACB (đpcm)

c) AE là tia phân giác của góc BAC
=> ^BAE=^CAE
Hay ^BAF=^CAE
Tứ giác ABEC nội tiếp (O)
=> ^ABC=^AEC (2 góc nt chắn cung AC)
Hay ^ABF=^AEC
Xét tam giác ABF và tam giác AEC có:
^ABF=^AEC
^BAF=^CAE
=> tam giác ABF ~ tam giác AEC (g-g)
=> AB/AF=AE/AC
<=> AB.AC=AE.AF (đpcm)

mk thấy bạn hợp vs tóc  ngắn  lắm đó!!! dễ thw cực

mình ko bt mặt bạn nên mình cx ko bt tl sao

sao bn ko ra sớm hơn nhỉ

thầy toán mới ra bài này làm bài khó cuối cùng cho lớp mik

Đặt phương trình trên là (1)

Ta thấy 120 và 18y đều chia hết cho 6. Nên \(11x⋮6\Leftrightarrow x⋮6\) (vì 11 và 6 là hai số nguyên tố cùng nhau)

Đặt \(x=6t\left(t\inℤ\right)\).Thay vào phương trình (1) được:

\(11.6t+6.3y=120\Leftrightarrow11t+3y=\frac{120}{6}=20\)

Suy ra \(3y=20-11t\Leftrightarrow y=\frac{20-11t}{3}\)

Vậy \(\hept{\begin{cases}x=6t\\y=\frac{20-11t}{3}\end{cases}}\) (t nguyên, sao cho \(20-11t⋮3\))

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{2}{\sqrt{ab}}\)

\(\Leftrightarrow2\ge\frac{2}{\sqrt{ab}}\)

\(\Leftrightarrow1\ge\frac{1}{\sqrt{ab}}\)

\(\Leftrightarrow1\le\sqrt{ab}\)

\(\Leftrightarrow1\le ab\)

Dấu " = " xảy ra <=> a=b=1

\(P=a^3+b^3+a\left(b^2-6\right)+b\left(a^2-6\right)\)

\(\Leftrightarrow P=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)+ab\left(a+b\right)-6\left(a+b\right)\)

\(\Leftrightarrow P=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2+ab-6\right)\)

\(\Leftrightarrow P=\left(a+b\right)\left(a^2+b^2-6\right)\)

Ta có: \(\left(a-b\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)

Dấu " = " xảy ra <=> a=b

Ta có: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=2\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}=2\Leftrightarrow a+b=2ab\)

Áp dụng:

\(P\ge2ab\left(2ab-6\right)\ge2.1\left(2-6\right)=2.\left(-4\right)=-8\)

Dấu " = " xảy ra <=> a=b=1

Vậy \(P_{min}=-8\Leftrightarrow a=b=1\) 

Tham khảo nhé~

\(\left(\frac{1}{a}+a\right)+\left(\frac{1}{b}+b\right)-\left(a+b\right)\)

\(\ge2+2-\left(a+b\right)=4-\left(a+b\right)\)

Từ đây,ta có: \(2\ge4-\left(a+b\right)\Leftrightarrow a+b\ge2\)

(Biến đổi tương tự như kudo,ta sẽ được:)

\(P=\left(a+b\right)\left(a^2+b^2-6\right)\ge2\left(a^2+b^2-6\right)\)

\(=2a^2+2b^2-12=\left(1+1\right)\left(a^2+b^2\right)-12\)

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki: \(P\ge\left(1+1\right)\left(a^2+b^2\right)-12\ge\left(a+b\right)^2-12\ge4-12=-8\)

Vậy ...

Sửa lại đề là tìm Max nhé m.n

Ta có:

\(\frac{ab+bc+ca+6\left(a+b+c\right)+27}{\left(a+3\right)\left(b+3\right)\left(c+3\right)}=\frac{3}{5}\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(b+3\right)\left(c+3\right)+\left(c+3\right)\left(a+3\right)+\left(a+3\right)\left(b+3\right)}{\left(a+3\right)\left(b+3\right)\left(c+3\right)}=\frac{3}{5}\)

\(\Leftrightarrow\frac{5}{a+3}+\frac{5}{b+3}+\frac{5}{c+3}=3\Leftrightarrow\frac{a-2}{a+3}+\frac{b-2}{b+3}+\frac{c-2}{c+3}=0\)

Xét biểu thức:

\(\frac{a^2-4}{a^2-9}=\frac{\left(a-2\right)\left(a+2\right)}{\left(a-3\right)\left(a+3\right)}=\frac{a-2}{a+3}.\frac{a+2}{a-3}\)

tưởng tự:

\(\frac{b^2-4}{b^2-9}=\frac{b-2}{b+3}.\frac{b+2}{b-3},\frac{c^2-4}{c^2-9}=\frac{c-2}{c+3}.\frac{c+2}{c-3}\)

\(\Rightarrow\frac{a^2-4}{a^2-9}+\frac{b^2-4}{b^2-9}+\frac{c^2-4}{c^2-9}=\frac{a-2}{a+3}.\frac{a+2}{a-3}+\frac{b-2}{b+3}.\frac{b+2}{b-3}+\frac{c-2}{c+3}.\frac{c+2}{c-3}\)

Do vai trò của a và b và c như nhau nên ta giả sử

\(a\ge b\ge c\)

Khi đó ta có:

\(\frac{a-2}{a+3}\ge\frac{b-2}{b+3}\ge\frac{c-2}{c+3},\frac{a+2}{a-3}\le\frac{b+2}{b-3}\le\frac{c+2}{c-3}\)

Áp dụng bất đẳng thức chebyshev cho 2 bộ ngược chiều trên ta có
\(\frac{a-2}{a+3}.\frac{a+3}{a-2}+\frac{b-2}{b+3}.\frac{b+2}{b-3}+\frac{c-2}{c+3}.\frac{c+2}{c-3}\le\left(\frac{a-2}{a+3}+\frac{b-2}{b+3}+\frac{c-2}{c+3}\right).\left(\frac{a+2}{a-3}+\frac{b+2}{b-3}+\frac{c+2}{c-3}\right)\)

Mà \(\frac{a-2}{a+3}+\frac{b-2}{b+3}+\frac{c-2}{c+3}=0\)

\(\Rightarrow\frac{a^2-4}{a^2-9}+\frac{b^2-4}{b^2-9}+\frac{c^2-4}{c^2-9}\le0\)

\(\Rightarrow\frac{5}{a^2-9}+\frac{5}{b^2-9}+\frac{5}{c^2-9}\le-3\Rightarrow\frac{1}{a^2-9}+\frac{1}{b^2-9}+\frac{1}{c^2-9}\le\frac{-3}{5}\)

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=2

Tìm max nha mấy god, e bị nhầm sory