Áp dụng BĐT Cauchy ta có :

\(\frac{a^3}{bc}+b+c\ge3\sqrt[3]{\frac{a^3bc}{bc}}=3a\)

\(< =>\frac{a^3}{bc}\ge3a-b-c\left(1\right)\)

Chứng minh tương tự => \(\hept{\begin{cases}\frac{b^3}{ca}\ge3b-a-c\left(2\right)\\\frac{c^3}{ab}\ge3c-a-b\left(3\right)\end{cases}}\)

(1),(2),(3) =>\(\frac{a^3}{bc}+\frac{b^3}{ca}+\frac{c^3}{ab}\ge3a-b-c+3b-a-c+3c-a-b=a+b+c\left(đpcm\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c

Bạn dùng phương pháp chọn điểm rơi thôi

= 2 ak

k mk nha

1 + 1 = 2 

Học đếu tốt ~~~

Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình

\(x^2=\left(2m-1\right)x-2m+1\)

\(\Leftrightarrow x^2-\left(2m-1\right)x+2m-1=0\)(1)

  Để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt thì pt (1) phải có 2 nghiệm phân biệt

Tức là \(\Delta>0\Leftrightarrow\left(2m-1\right)^2-4\left(2m-1\right)>0\) 

                        \(\Leftrightarrow\left(2m-1\right)\left(2m-5\right)>0\)

                         \(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}m< \frac{1}{2}\\m>\frac{5}{2}\end{cases}}\)

Theo hệ thức Vi-ét có : \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2m-1\\x_1x_2=2m-1\end{cases}}\)

Vì \(x_1< \frac{3}{2}< x_2\)

\(\Rightarrow\left(x_1-\frac{3}{2}\right)\left(x_2-\frac{3}{2}\right)< 0\)

\(\Leftrightarrow x_1x_2-\frac{3}{2}\left(x_1+x_2\right)+\frac{9}{4}< 0\)

\(\Leftrightarrow2m-1-\frac{3}{2}\left(2m-1\right)+\frac{9}{4}< 0\)

\(\Leftrightarrow2m-1-3m+\frac{3}{2}+\frac{9}{4}< 0\)

\(\Leftrightarrow-m< -\frac{11}{4}\)

\(\Leftrightarrow m>\frac{11}{4}\)

Lại có trào lưu đăng câu hỏi linh tinh đây :)))

I. Nội qui tham gia "Giúp tôi giải toán"

1. Không đưa câu hỏi linh tinh lên diễn đàn, chỉ đưa các bài mà mình không giải được hoặc các câu hỏi hay lên diễn đàn;

2. Không trả lời linh tinh, không phù hợp với nội dung câu hỏi trên diễn đàn.

3. Không "Đúng" vào các câu trả lời linh tinh nhằm gian lận điểm hỏi đáp.

Các bạn vi phạm 3 điều trên sẽ bị giáo viên của Online Math trừ hết điểm hỏi đáp, có thể bị khóa tài khoản hoặc bị cấm vĩnh viễn không đăng nhập vào trang web.

Tui có nhưng ko ngu mà cho og .OKE.................................

=1234567890+111+1+1+111111111111111111111111111111111+111111111111111111111111111111111111111+22222222222222222222222222222+222222

I. Nội qui tham gia "Giúp tôi giải toán"

1. Không đưa câu hỏi linh tinh lên diễn đàn, chỉ đưa các bài mà mình không giải được hoặc các câu hỏi hay lên diễn đàn;

2. Không trả lời linh tinh, không phù hợp với nội dung câu hỏi trên diễn đàn.

3. Không "Đúng" vào các câu trả lời linh tinh nhằm gian lận điểm hỏi đáp.

Các bạn vi phạm 3 điều trên sẽ bị giáo viên của Online Math trừ hết điểm hỏi đáp, có thể bị khóa tài khoản hoặc bị cấm vĩnh viễn không đăng nhập vào trang web.

+) Gọi M,N lần lượt là hình chiếu của P lên AB,AC, L là hình chiếu của I trên MN. Kẻ BG và CJ cùng vuông góc MN.

Nhận xét: Trong \(\Delta\)ABC có đường phân giác trong AE, P và Q trên AE với ^ACQ = ^BCP (gt)

Ta sẽ chứng minh được ^ABP = ^CBQ dựa vào 1 bài toán nổi tiếng ở lớp 7 (Có trong sách NC & PT Toán 7, tập 2)

Tính chất trên là 1 trường hợp đặc biệt của "Đẳng giác". Các bạn có thể tự chứng minh hoặc đọc trong sách :)

Quay trở lại bài toán: Xét \(\Delta\)BMP và \(\Delta\)BIQ: ^PBM = ^QBI (cmt), ^BMP = ^BIQ (=90⁰)

=> \(\Delta\)BMP ~ \(\Delta\)BIQ (g.g) => \(\frac{BI}{BM}=\frac{QI}{PM}\). Tương tự: \(\frac{CI}{CN}=\frac{QI}{PN}\)

Mà PM=PN nên \(\frac{BI}{BM}=\frac{CI}{CN}\)=> \(\frac{BI}{CI}=\frac{BM}{CN}\). Dễ thấy \(\Delta\)MAN cân tại A => ^AMN = ^ANM => ^BMG = ^CNJ

Suy ra: \(\Delta\)BGM ~ \(\Delta\)CJN (g.g) => \(\frac{BM}{CN}=\frac{MG}{NJ}\). Từ đó: \(\frac{BI}{CI}=\frac{MG}{NJ}\)

Để ý hình thang vuông BCJG, nhờ ĐL Thales ta lập được tỉ số: \(\frac{BI}{CI}=\frac{GL}{JL}=\frac{MG}{NJ}=\frac{ML}{NL}=\frac{BM}{CN}\)

+) Kéo dài tia BH,CH cắt MN tại S,T. Có ngay \(\Delta\)THS ~ \(\Delta\)MPN (g.g) (Các cặp cạnh song song)

Ta thấy: L thuộc 2 cạnh MN,ST tương ứng, \(\frac{LM}{LS}=\frac{LN}{LT}\)(Vì \(\Delta\)BLS ~ \(\Delta\)CLT) => \(\Delta\)HLT ~ \(\Delta\)PLN (c.g.c)

=> ^HLT = ^PLN => 90⁰ - ^HLT = 90⁰ - ^PLN => ^HLI = ^PLI  => LI là phân giác ^HLP (1)

+) Gọi R là giao điểm thứ hai của DP với đường tròn (O) => ^PRA= 90⁰ => 5 điểm A,R,N,P,M cùng thuộc 1 đường tròn

=> Tứ giác ARMN nội tiếp => ^MRN = ^BAC = ^BRC, ^RNM = ^RAM = ^RCB nên \(\Delta\)RMN ~ \(\Delta\)RBC (g.g)

Kéo theo \(\Delta\)RMB ~ \(\Delta\)RNC (c.g.c) => \(\frac{BM}{CN}=\frac{RM}{RN}\). Mà \(\frac{BM}{CN}=\frac{LM}{LN}\)(cmt) nên \(\frac{RM}{RN}=\frac{LM}{LN}\)

=> RL là phân giác ^MRN. Chú ý tứ giác RMPN nội tiếp có ^PMN = ^PNM => RP là phân giác ^MRN

Dẫn đến RL trùng với RP hay R,L,P thẳng hàng. Lại có: R,P,K thẳng hàng nên L,P,K thẳng hàng (2)

+) Từ (1) và (2) suy ra: LI là phân giác ^HLK. Mà KH vuông góc LI (Quan hệ song song vuông góc)

Nên \(\Delta\)HKL cân tại L hay H và K đối xứng nhau qua IL. Từ đó: IH = IK => \(\Delta\)HIK cân tại I (đpcm).