( x + 1 )( x - 2 ) < 0

Xét hai trường hợp :

1. \(\hept{\begin{cases}x+1< 0\\x-2>0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x< -1\\x>2\end{cases}}\)( loại )

2. \(\hept{\begin{cases}x+1>0\\x-2< 0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x>-1\\x< 2\end{cases}}\Leftrightarrow-1< x< 2\)

Vậy với -1 < x < 2 thì ( x + 1 )( x - 2 ) < 0

tự làm

\(x^2-\frac{1}{5}x< 0\) 

\(x\left(x-\frac{1}{5}\right)< 0\) 

TH 1 : 

\(\hept{\begin{cases}x>0\\x-\frac{1}{5}< 0\end{cases}}\) 

\(\hept{\begin{cases}x>0\\x< \frac{1}{5}\end{cases}}\)  \(\Rightarrow0< x< \frac{1}{5}\) 

TH 2 : 

\(\hept{\begin{cases}x< 0\\x-\frac{1}{5}>0\end{cases}}\) 

\(\hept{\begin{cases}x< 0\\x>\frac{1}{5}\end{cases}}\) \(\Rightarrow x=\varnothing\)

Vậy \(0< x< \frac{1}{5}\) là nghiệm của bất phương trình trên 

                                                                Bài giải

\(x^2-\frac{1}{5}\cdot x=x\left(x-\frac{1}{5}\right)< 0\)khi \(x\) và \(x-\frac{1}{5}\) đối nhau. Mà \(x>x-\frac{1}{5}\) nên :

\(\hept{\begin{cases}x>0\\x-\frac{1}{5}< 0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x>0\\x< \frac{1}{5}\end{cases}}\Rightarrow\text{ }0< x< \frac{1}{5}\)

\(\frac{a^2\times m-a^2\times n-b^2\times n+b^2\times m}{a^2+b^2}\)

\(=\frac{\left(a^2\times m-a^2\times n\right)+\left(b^2\times m-b^2\times n\right)}{a^2+b^2}\)

\(=\frac{a^2\left(m-n\right)+b^2\left(m-n\right)}{a^2+b^2}\)

\(=\frac{\left(m-n\right)\left(a^2+b^2\right)}{a^2+b^2}\)

\(=m-n\)

|3x+7|+|2-x|=13

|3x+7|=13hoặc|2-x|=13

3x=13-7hoặcx=2-13

3x=6hoặcx=-11

x=6:3

x=2hoặcx=-11

vậy x=2hoặcx=-11

| 3x + 7 | + 3| 2 - x | 

= | 3x + 7 | + | 6 - 3x | 

Áp dụng bất đẳng thức | a | + | b | ≥ | a + b | ta có :

| 3x + 7 | + | 6 - 3x | ≥ | 3x + 7 + 6 - 3x | = | 13 | = 13 ( đúng với đề bài )

Đẳng thức xảy ra khi ab ≥ 0 

⇔ ( 3x + 7 )( 6 - 3x ) ≥ 0

Xét hai trường hợp :

1. \(\hept{\begin{cases}3x+7\ge0\\6-3x\ge0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}3x\ge-7\\-3x\ge-6\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge-\frac{7}{3}\\x\le2\end{cases}}\Leftrightarrow-\frac{7}{3}\le x\le2\)

2. \(\hept{\begin{cases}3x+7\le0\\6-3x\le0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}3x\le-7\\-3x\le-6\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\le-\frac{7}{3}\\x\ge2\end{cases}}\)( loại )

Vậy với \(-\frac{7}{3}\le x\le2\)thì biểu thức có giá trị = 13

a) Để \(\frac{6}{2a+1}\inℤ\)thì \(6⋮2a+1\)

\(\Rightarrow2a+1\inƯ\left(6\right)=\left\{-6;-3;-2;-1;1;2;3;6\right\}\)

Vì \(a\inℤ\)\(\Rightarrow2a+1\)là số lẻ 

\(\Rightarrow\)\(2a+1\)là ước lẻ của 6

\(\Rightarrow2a+1\in\left\{-3;-1;1;3\right\}\)

\(\Rightarrow2a\in\left\{-4;-2;0;2\right\}\)

\(\Rightarrow a\in\left\{-2;-1;0;1\right\}\)

Vậy \(a\in\left\{-2;-1;0;1\right\}\)

b) Để \(\frac{4a-3}{5a-1}\inℤ\)thì \(4a-3⋮5a-1\)\(\Rightarrow5.\left(4a-3\right)⋮5a-1\)

Ta có: \(5\left(4a-3\right)=20a-15=20a-4-11=4\left(5a-1\right)-11\)

Vì \(4.\left(5a-1\right)⋮5a-1\)\(\Rightarrow\)Để \(4a-3⋮5a-1\)thì \(11⋮5a-1\)

\(\Rightarrow5a-1\inƯ\left(11\right)=\left\{-11;-1;1;11\right\}\)

\(\Leftrightarrow5a\in\left\{-10;0;2;12\right\}\)\(\Leftrightarrow a\in\left\{-2;0;\frac{2}{5};\frac{12}{5}\right\}\)

mà \(a\inℤ\)\(\Rightarrow a\in\left\{-2;0\right\}\)

Vậy \(a\in\left\{-2;0\right\}\)

c) \(\frac{a^2+3}{a-1}=\frac{a^2-1+4}{a-1}=\frac{\left(a-1\right)\left(a+1\right)+4}{a-1}=\left(a+1\right)+\frac{4}{a-1}\)

Vì \(a\inℤ\)\(\Rightarrow a+1\inℤ\)

\(\Rightarrow\)Để \(\frac{a^2+3}{a-1}\inℤ\)thì \(\frac{4}{a-1}\inℤ\)

\(\Rightarrow4⋮a-1\)\(\Rightarrow a-1\inƯ\left(4\right)=\left\{-4;-2;-1;1;2;4\right\}\)

\(\Rightarrow a\in\left\{-3;-1;0;2;3;5\right\}\)

Vậy \(a\in\left\{-3;-1;0;2;3;5\right\}\)