Cho hình thoi MNPQ có góc M bằng 60 độ. Lấy 1 điểm A bất kì thuộc cạnh NP. Đường thẳng MA cắt PQ kéo dài tại B, đường thẳng QA cắt NB tại C. Chứng minh rằng:

a) MQ² = NA . QB

b) Tứ giác NCPQ là tứ giác nội tiếp.

c) Điểm C thuộc 1 cung tròn cố định khi A thay đổi trên NP

Cho (O;R) và một đường thẳng (d) không cắt (O). Khoảng cách từ (O) đến đường thẳng (d) nhỏ hơn R√2. M là một điểm di động trên (d). Từ M kẻ tiếp tuyến MA, MB với (O) (A,B là các tiếp điểm. MO cắt AB tại N, cắt (O) tại I. Trên nửa mặt phẳng bờ OM có chứa điểm B, vẽ tia Ox vuông góc với OM. Ox cắt MB tại P. Xác định vị trí M trên (d) để diện tích tam giác MOP nhỏ nhấ

hoặc tìm Link HSG toán 9 thành phố Lào cai

Có câu như trên

\(\hept{\begin{cases}x+\frac{1}{x}=y^2+1\left(1\right)\\y+\frac{1}{y}=z^2+1\left(2\right)\\z+\frac{1}{z}=x^2+1\left(3\right)\end{cases}}\left(ĐKXĐ:x;y;z\ne0\right)\)

Từ \(\left(1\right)\Rightarrow\frac{x^2+1}{x}=y^2+1\)

              \(\Rightarrow x=\frac{x^2+1}{y^2+1}>0\)

Tương tự \(y=\frac{y^2+1}{z^2+1}>0\)

                \(z=\frac{z^2+1}{x^2+1}>0\)

Áp dụng bđt cô-si có \(x+\frac{1}{x}\ge2\) 

\(\Rightarrow y^2+1\ge2\)

\(\Rightarrow y\ge1\)

Tương tự \(x;z\ge1\)

ta có \(xyz=\frac{\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)\left(z^2+1\right)}{\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)\left(z^2+1\right)}=1\)

Mà \(x;y;z\ge1\Rightarrow xyz\ge1\)

Do đó dấu "=" khi x = y = z = 1 

Yey =)))