cho a,b,c>0 thỏa mãn abc=1.cmr
\(\frac{b+c}{a}+\frac{2a+c}{b}+\frac{4\left(a+b\right)}{a+c}\) >=9
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
ĐKXĐ: \(x\ge1\)
Phương trình cho tương đương:
\(3\left(x^2+2\right)=8\sqrt{x^3-1}\Leftrightarrow3\left(x^2+2\right)=8\sqrt{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}\)
Đặt \(\sqrt{x^2+x+1}=a,\sqrt{x-1}=b\left(a,b\ge0\right)\) ta có phương trình:
\(3\left(a^2-b^2\right)=8ab\Leftrightarrow\left(3a+b\right)\left(a-3b\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}b=-3a\\a=3b\end{cases}}\)
+) \(b=-3a\Rightarrow\sqrt{x-1}=-3\sqrt{x^2+x+1}\)(Vô lí vì \(-3\sqrt{x^2+x+1}< 0\))
+) \(a=3b\Rightarrow\sqrt{x^2+x+1}=3\sqrt{x-1}\Leftrightarrow\left(x-4\right)^2=6\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=4+\sqrt{6}\\x=4-\sqrt{6}\end{cases}}\)(thỏa mãn). Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S=\left\{4\pm\sqrt{6}\right\}.\)
Thay x = 8 , y = 4 vào hàm số.
Ta được:
a. 8 + 5 = 4 ⇒ 8a = 4 - 5 = -1 ⇒ a = -1/8
Vậy a = \(\frac{-1}{8}\)
Dễ thấy \(z^2\)chia hết cho 3 \(\Rightarrow z⋮3\Rightarrow z^2⋮9\)
* Xét \(z^2=0\), ta có \(3x^2+6y^2-18x-6=0\)
\(\Leftrightarrow3\left(x-3\right)^2+6y^2=33\Leftrightarrow\left(x-3\right)^2+2y^2=11\)
\(2y^2\le11\Rightarrow y^2\le2^2\Rightarrow y^2=0^2;1^2;2^2\)
\(+y^2=0^2\Rightarrow\left(x-3\right)^2=11\)(vô lí)
\(+y^2=1^2\Rightarrow\left(x-3\right)^2=3^2\Rightarrow x-3=\pm3\)
\(\Rightarrow x=6\)hoặc \(x=0\)
Có các nghiệm \(\left(x=6;y=1;z=0\right)\) \(\left(x=6;y=-1;z=0\right)\)
\(\left(x=0;y=1;z=0\right)\) \(\left(x=0;y=-1;z=0\right)\)
\(+y^2=2^2\Rightarrow\left(x-3\right)^2=3\)( vô lí)
* Xét \(z^2\ge9\) ta có: \(3x^2+6y^2+2z^2+3y^2z^2-18x-6=0\)
\(\Leftrightarrow3\left(x-3\right)^2+6y^2+2z^2+3y^2z^2=33\)
\(+y^2\ge1\)thì \(2z^2+3y^2z^2\ge2.9+3.1.9>33\)(loại)
\(+y^2=0\)thì \(3\left(x-3\right)^2+2z=33\)
\(z^2=9\)thì \(3\left(x-3\right)^2=15\)(loại)
\(z^2>9\Rightarrow z^2\ge6^2=36\)
Ta có \(3\left(x-3\right)^2+2z^2>33\)(loại)
Nghiệm nguyên của ptrình là:
\(\left(x=6;y=1;z=0\right)\) \(\left(x=6;y=-1;z=0\right)\)
\(\left(x=0;y=1;z=0\right)\) \(\left(x=0;y=-1;z=0\right)\)
Bài toán phụ : cho 0<x<y; z>0
CMR: \(\frac{x+z}{y+z}>\frac{x}{y}\)
giải: \(0< x< y;z>0\Rightarrow zy>zx\Rightarrow zx+zy>xz+xy\)
\(\Rightarrow y\left(x+z\right)>x\left(y+z\right)\Rightarrow\frac{x+z}{y+z}\Rightarrow\frac{x+z}{y+z}>\frac{x}{y}\)
Áp dụng bài toán phụ ta có:
\(\frac{A+a+B+b}{A+a+B+b+c+d}>\frac{A+a}{A+a+c+d}\)
Tương tự : \(\frac{B+b+C+c}{B+b+C+c+a+d}>\frac{C+c}{C+c+A+a+b+d}\)
Mà:
\(\frac{A+a}{A+a+c+d}+\frac{C+c}{C+c+a+d}>\frac{A+a}{C+c+A+a+b+d}+\frac{C+c}{C+c+A+a+b+d}\)
Do đó:
\(\frac{A+a+B+b}{A+a+B+b+c+d}+\frac{B+b+C+c}{B+b+C+c+a+d}>\frac{C+c+A+a}{C+c+A+a+b+d}\)
Đặt \(M=\frac{b+c}{a}+\frac{2a+c}{b}+\frac{4\left(a+b\right)}{a+c}\)
\(=\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b}+\frac{a+c}{b}+\frac{4a}{a+c}+\frac{4b}{a+c}\)
\(=\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right)+\left(\frac{c+a}{a}+\frac{4a}{a+c}\right)+\left(\frac{a+c}{b}+\frac{4b}{a+c}\right)-1\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(M\ge2.\sqrt{\frac{b}{a}.\frac{a}{b}}+2.\sqrt{\frac{c+a}{a}.\frac{4a}{a+c}}+2.\sqrt{\frac{a+c}{b}.\frac{4b}{a+c}}-1=2+4+4-1=9\)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c ( tự giải cụ thể nhé ).
Bài này hình như thừa điều kiện abc=1.
Nếu có chỗ nào sai sót xin chỉ giáo.